例说处理和（差）角范围问题的几点做法

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1、例说处理和（差）角范围问题的几点做法倪步国在三角解题中经常遇到确定和（差）角范围的问题，学生常因确定和（差）角范围的偏差导致解题失误。本文举例说明这类问题的处理方法。一.合理选用公式来确定例1已知α，β均为锐角，sinα=，求α+β的值。解析：由已知条件有cosα=，且0＜α+β＜π。又cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ评注：若本题选择正弦的和角公式，会因为一、二象限角的正弦值均为正，而得出两个结果，导致解题失误，这就需要注意公式的合理选用，若将本例改为：设α是锐角，，且，求α+β的值，则选用正弦和角公式合理。

2、另外，四个象限角的正切值正负相间，故本例亦可选用正切和角公式。二.借用其他三角函数来确定合理选用公式，仅对两角和（差）的范围在相邻两个象限时起作用，而对于其它情形，可通过两角和（差）的两个三角公式，来确定两角和（差）的范围。例2已知，且α，β都是第二象限角，试确定2α+β，2α-β所在象限。解析：由条件α，β都是第二象限角，则有因为2α+β，2α－β都可能落在三个象限，单独使用正（余）弦和差角公式，从值的符号都不能决定2α+β，2α－β的象限，但同时使用正弦、余弦的和差角公式，即可解决。由cos(2α+β)=cos2αcosβ－

3、sin2αsinβ知2α+β在一、四象限。又sin(2α+β)=sin2αcosβ+cos2αsinβ知2α+β在一、二象限。综上知2α+β在第一象限。同理可确定2α-β在第三象限。三.挖掘隐含条件来确定例3已知cos(α－β)=都是锐角，求cos(α+β)的值。解析：由已知条件有因为0＜sin2α=，所以0＜2α＜，所以0＜α＜。①又因为0＜β＜，所以＜-β＜0。②由①、②得＜α-β＜。又因为cos（α-β）=，所以。=。从而cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)评

4、析：本例通过0＜sin2α=，发现了隐含条件：0＜α＜，将α-β的范围缩小为，进而由cos(α-β)=,将α-β的范围确定为，从而避免了增解。例4已知，且tanα,tnaβ是一元二次方程的两个根，求α+β的值。解析：由已知条件得tanα+tanβ=，tanαtanβ=4＞0，所以tnaα＜0，tanβ＜0。又因为，所以所以-π＜α+β＜0。又因为tan(α+β)==所以α+β=。评析：本例根据韦达定理tanα+tanβ=，tanαtanβ=4，挖掘出了隐含条件tanα＜0,tanβ＜0，知，，得出了α+β的确切范围，从而顺利求解

5、。总之，在处理两角和（差）范围问题时，要注意对题目条件加以研究，特别对隐含条件的挖掘，合理选用公式灵活处理。另外涉及多角和（差）的问题，亦可依照上面做法处理。年级高中学科数学版本期数内容标题例说处理和（差）角范围问题的几点做法分类索引号G.622.475分类索引描述　　统考试题与题解主题词例说处理和（差）角范围问题的几点做法栏目名称专题辅导供稿老师审稿老师录入周婕一校二校审核