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1、利用空间向量坐标运算解立几题举例湖南省江华一中 钟绍华空间向量把空间结构系统代数化，向量的“方向和长度”属性将立体几何中关于“位置和度量”的定性问题转化为定量研究，而定量研究的代数运算易为学生接受，而且学生空间想象能力的欠缺和作图的困难也可得到一定的弥补甚至是回避，下面对利用空间向量的坐标运算解立几题进行分类说明。一、证明四点共面例1、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱AB、BC、CC1、A1D1的中点，问四边形EFGH是平面四边形还是空间四边形？解：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D－
2、xyzBACDEFGHA1B1C1D1xyz 则D（0,0，0） E（a，，0） F（，a，0） G（0，a，） H（，0，a） ＝（，0，a） ＝（a，，0） ＝（，a，0） ＝（0，a，）若E、F、G、H四点共线，则存在x、y、z使 ＝x＋y＋z 即∴ x＝2 y＝－3 z＝2 故 ＝2－y＋2 四边形EFGH是平面四边形二、证明两直线相交例2、三棱锥S－ABC中，侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，M为三角形ABC的重心，D为AB的中点，作与SC平行的直线DP，证明：DP与SM相交。（93年全国高中联赛题）ABC
3、SDMPExyz解：如图，以S为坐标原点，建立空间直角坐标系 设A（a，0,0） B（0，b,0）C（0,0，c）则D（，，0） M（，，） 假设DP与SM相交于E 因为DP∥SC 可设E的坐标为（，，r） 由＝（，，） ＝（，，r） ＝λ 得（，，r）＝（，，） 解得 λ＝ r＝ 即DP与SM相交于E（，，）三、求异面直线所成角的大小xyzABCDEP例3、在三棱锥P－ABC中，AP＝a，AB＝AC=a，∠PAB＝∠PAC＝45°，cos∠BPC＝，D是AB的中点，DE⊥PB，垂足为E，求CD与BP所成的角。
4、解：由已知得PB＝PC＝a 故 AP⊥PB AP⊥PC 以P为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系 则A（0,0，a） B（，，0） C（0，a,0）=(0，－a，a) =(，，a) ＝＝(，，a) ＝＋＝（，－，a） D是AB中点，DE∥AP 故 E是PB的中点 ＝（－，－，0） ＝＝（－，－，0） cos<,>=所以CD与BP所成的角为arccos四、求二面角的大小例4、在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且AB＝a，AD＝PA＝2a，求二面角B－PC－D的大小。ABCDPxyzEF解
5、：过B作BF⊥PC于F，过D作DE⊥PC于E 则与所成的角为二面角的平面角， 如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系， 所以 B（a，0，0） D（0，2a，0）PD＝2a在直角三角形PDC中 DC＝a PC＝3aCE= PF＝ 故E（，，） F（，，） ＝（－，，－） ＝（，－，－） cos＜，＞＝ 二面角B－PC－D的大小为π－arccos五、求直线与平面所成角的大小ABCDEGxyzA1B1C1例5、在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D、E分
6、别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，求A1B与平面ABD所成角的大小。（2003全国高考题）解：如图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系 设｜CA｜＝a 则A（a，0，0） B（0，a,0） C（0，0，0） D（0，0，1） A1（a，0,2） E（,,1）G是△ABD的重心故G（，，）=(,-,)=(-,-,-)点E在平面ABD上的射影是点G 所以⊥ •＝0 即－＋－＝0 a＝2 ＝（2,－2,2） =(,-,) cos＜，＞＝ 故A1B与平面ABD所成角为arccos
7、六、证明两直线垂直和求点到平面的距离zABCDOHxyA1B1C1D1P例6、在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1中，的中心，点P在棱CC1上，且CC1＝4CP，（1）设点O在平面D1AP上的射影为H，求证：DH1⊥AP（2）求点P到平面ABD1的距离 （04年江苏高考题）解：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系 则D1（0，0，4） O（2,2，4） A（4,0，0） P（4,0，1） 设H（a，b，c） 得 ＝（a－2，b－2，c－4） ＝（－4,4，1）=(－4,0，4)
8、＝（0，－4,3） 由O在平面D1AP上的射影为H 得 OH⊥AD1 OH⊥PD1 故•＝0 •＝0 即4（a－2）－4（c－4）＝0 4（b－2）－3（c－4）＝0a＝c－2 b＝c－1 代入得＝（a，b，c－4）＝（c－2，c－1，c
