九年级数学下册教学论文 如何解答中考数学中的最值问题 苏科版

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1、如何解答中考数学“最值”问题最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。利用一次函数和二次函数的性质求最值。一、“最值”问题大都归于两类基本模型：Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值Ⅱ、归

2、于几何模型，这类模型又分为两种情况：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。二、利用函数模型求最值ABCDEF例1、如图（1），平行四边形中，，E为BC上一动点（不与B重合），作于，设的面积为当运动到何处时，有最大值，最大值为多少？（1）【观察与思考】容易知道是的函数，为利用函数的性质求的最大值，就应先把关于的函数关系式求出来，而这又需要借助几何计算。（1）

3、解：如图（1`），延长交的延长线于易知。ABCDEFG，而，又，在中，。。中。对称轴当，随的增大而增大。当，即E与C重合时，有最大值，。【说明】可以看出，函数是解决“数量”最值问题的最基本的方法。三、利用几何模型求最值（1）归入“两点之间的连线中，线段最短”例1、几何模型：条件：如下左图，、是直线同旁的两个定点．问题：在直线上确定一点，使的值最小．方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点．连结，由正方形对称性可知，与关于直线对

4、称．连结交于，则的最小值是___________；（2）如图2，的半径为2，点在上，，，是上一动点，求的最小值；AB′PlOABPRQ图3OABC图2ABECPD图1（第1题）P（3）如图3，，是内一点，，分别是上的动点，求周长的最小值．例2如图（1）所示，在一笔直的公路的同一旁有两个新开发区，已知千米，直线与公路的夹角新开发区B到公路的距离千米。（1）求新开发区A到公路的距离；（2）现从上某点处向新开发区修两条公路，使点到新开发区的距离ABCNOM之和最短，请用尺规作图在图中找出点的位置（不用证明，不写作法，

5、保留作图痕迹），并求出此时的值。【观察与思考】对于（1），直接归于几何计算。对于（2），首先利用“轴对称”的性质，把原题中的求“”最短，转化成求“”最短（其中是A关于的对点。ABCNOM30°D解：（1）先作垂直于于点如图（1`）在中，（千米）在中，（千米）（千米）ABCNOM30°DP（2）作点A关于的对称点，连结交于点。（1`）结果如图（1``），点即为所求。如图（1``），作交的延长线于点。在中，（千米），（千米）。（千米）。此时（千米）ACBPQ例3如图，（1），在中，，为边上一定点，（不与点B，C重合

6、），为边上一动点，设的长为，请写出最小值，并说明理由。【观察与思考】其实，本题和例2中的（2）基本上是相同的，是“在直线上求一点，使它到同侧的两个定点和的距离之和最小”。因此，可由图（1`）（连结关于的对称点与所成线段，交于。或图（1``）（连结关于的对称点与所成线段，交于，都同样可得最小值。ACBPACBPQACBPQ（1`）（1``）（1```）解：如图（1```），作点关于的对称点，连结交于点，易知，。在中，，又，在上任意取一异于的点，连结，则对边上的动点，最小值为。【说明】Ⅰ、在本题，关键仍是将最小问题

7、，转化成求线段的长，转化的桥梁仍是利用“轴对称”的性质；注意：至于求线段的长，仍是以归入“解直角三角形”为第一选择。不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”例4如图（1），抛物线和轴的交点为为的中点，若有一动点，自点处出发，沿直线运动到轴上的某点（设为点），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点），最后又沿直线运动到点，求使点运动的总路程最短的点，点的坐标，并求出这个最短路程的长。AFEM解：如图（1`），由题意可得（0，3

8、），，抛物线的对称点AFEMB33为，点关于轴的对称点为，点关于抛物线对称轴的对称点为（6，3）。连结。根据轴对称性及两点间线段最短可知，的长就是所求点运动中最短总路程的长，在直线的方程为（过程略）。设与的交点为则为在轴上所求的点，与直线的交点为所求的F点。可得点的坐标为（2，0），F点的坐标为）。由勾股定理可求出（过程略）所以点运动的总路程（）最短时间为。不管在什么背景下，有关线段之