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1、关于集合可数的若干证明方法[摘要]本文主要介绍了有关集合可数的五种证明方法,这些方法是:一.依据定义构造无穷序列证明集合可数;二.依据伯恩斯坦定理通过建立映射证明集合可数;三.通过集合之间取并集来证明有些集合可数;四.用数学归纳法证明集合可数;五.运用转化的思想.通过以上方法的讨论,本文对有关集合可数的证明做了一个比较全面的介绍.[关键词]可数集;1-1映射;无穷序列1引言集合是整个数学理论的基础,可数集是实变函数中的一个最基本的概念,对后续的测度论以及Lebesgue积分的学习起着很重要的作用而且作为一类最简单的集合在
2、数学的各个分支中也有广泛的应用.基于此判断并证明集合可数便显得尤为重要,虽然可数集合数目众多,种类繁杂,但集合可数的证明方法无分就几类.本文将主要介绍其中常用的五种方法.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些证明方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍解题方法,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明.2预备知识定义2.1[1]设是两个集合,如果存在二者元素之间的一个对应关系,使中任意元素,通过都恰与中某一个元素对应,而中任意的元素也
3、一定是中某一通过在中的对应元素,则我们就说和是对等的.记为.定义2.2[2] 凡与自然数集对等的集合称为可列集.可列集与有限集统称可数集.定理2.1[3](Cantor—Bernstein)若,则.定理2.2[4]任何无穷集合必有可数子集.基于以上两个定理,我们给出集合可数的如下两个充分条件.定理2.3设为任意无穷集,为一可数集,且存在满射,则可数.证明由已知必存在集合,使得在上的限制是一个双射,即存在集合,使得为一个双射,也就是说.又由定理2.2,必有可数子集,即存在,且,也就是说.从而由定理2.1知,又,故即可数.定
4、理2.4设为任意无穷集,为一可数集,且存在单射,则可数.证明由已知,而显然为一双射,故.由定理2.2知必有可数子集,即存在,使得,因此由定理2.1知,即可数.定理2.5[5]若都是可数集合,则是可数的.第8页用数学归纳法不难把定理2.7的结论推广到个集合的情形,即推论2.1[1]若对于每一个是可数集合,则是可数集合.下面的定理2.6我们再将结论进一步推广到可数个集合的情形.定理2.6[6]如果的每一个都是可数集合,则也是可数集合.3关于集合可数的一些证明方法以下文中例题选自参考文献[7,8,9,10].3.1依据定义构造
5、无穷序列证明集合可数依据上面的定义无穷集合可数与可列等价,那么要证明一个无穷集合可数只要找到其元素的一个无穷序列便可.例3.1全体有理数构成的集合可数.证明由于任意有理数都可以用分数表示,我们构造集合集合序列如下,,则这些所有集合的全体元素可做排列,其排列规则为排第一位,当时,排在第位,,将上述排列中的重复元素只取其一个最简形式,便可得到一个全体有理数的无穷序列为,,故而由定义可知全体有理数构成一可数集.例3.2证明直线上以有理数为端点的区间全体所组成的集合可数.证明设直线上的全体有理点为,令,则中的元素可排列如下:,
6、 , , 将以上排列重排成无穷序列如下:.故可数.例3.3证明整数集可数.证明整数集中的元素可做如下无穷序列:第8页,故整数集可数.根据定义构造无穷序列来证明集合可数的方法关键在于构造无穷序列,而这其中是有很多技巧的,还要通过多做练习,细加揣摩,还有多注意总结前人的经验才能掌握.3.2依据伯恩斯坦定理通过建立映射证明集合可数例3.4直线上互不相交的开区间构成的集合可数.证明记直线上互不相交的开区间构成的集合为,建立有理数集到的映射如下,,对于任意的,由有理数的稠密性知,存在,即存在,使得,故是一个满射,从
7、而根据定理2.3,可数.例3.5若直线上的集合的任意两点间的距离大于1,则集合可数.证明用点将直线分成可数个闭区间.易知每一个闭区间至多含有已知集合的一个点,因而在集合中的点到闭区间之间存在一个单射,故集合可数.例3.6直线上的集合称为离散集是指,对任意给定的,存在使得与不相交,即不是的聚点.求证直线上的离散集为可数集.证明依据题意,使得.于是我们可以建立如下这般映射,其中满足.易见是一单射,而是可数集.从而根据定理2.4知集合是可数集.例3.7函数的真正极值是指,对于定义域内一点,如果存在,使对于任意均成立,则称为函数
8、的真正极大值,相应的称为的真正极大值点.设为实函数,令,则为一可数集.证明设为的真正极大值点,选区间,使得为有理数且对于任意的,有,.由真正极大值的定义知映射,为单射.于是由定理2.4为一可数集. 此法主要建立在伯恩斯坦定理的基础之上,根据集合对等的定义,通过建立映射来证明集合可数.集合对等的定义中要求两个集合之间