初中数学教学论文 关于圆的辅助线的作法式 北师大版

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1、关于圆的辅助线的作法圆是初三几何中的重要学习内容之一，对培养学生的分析能力、逻辑推理能力、解决问题能力有着重要作用.圆的知识是中考必考内容,从基础知识检测到综合解题能力考察都出现在中考数学试卷中.由圆和直线型图形,圆和函数图象可以组合成一些复杂的几何题；由圆的重要性质和平面直角坐标系、函数、方程、面积等知识就组成了综合性强、涉及面广、图形变化大的中考压轴题.，学生在初学时，往往无从下手，这时如果能够添加适当的辅助线，问题就简单的多了。本人从多年的教学过程中总结了下列关于圆的辅助线的作法。1．已知圆中有弦，一般是过圆心作

2、弦的垂线，由垂径定理知：这条垂线平分弦，然后再连结弦的一个端点和圆心，构成由半径、弦心距、弦的一半组成的直角三角形，再利用勾股定理解题。如：例1、如图1，已知⊙O中，弦AB的长为8cm，圆的半径为5cm，求圆心O到弦AB的距离。解：过O作OC⊥AB于C，连结AO，则AO＝5cm，AC＝AB＝4cm∴在Rt△AOC中，OC＝＝3　　　　　　　　　图1　　　　　　　　　　　图2　　　　　　　　　　　　图32、如果圆中有若干条弦，且这些弦相等（或要证明这些弦相等），这时也是过圆心作弦的垂线，利用圆心角、弧、弦、弦心距关系定理

3、解题。如：例2、如图2，已知∠MPN的角平分线经过⊙O的圆心，角的两边与⊙O分别交于A、B、C、D，求证：AB＝CD[分析]：此图中要证明两弦AB和CD相等，我们想到它所对应的弦心距也相等，因此过圆心作弦AB和CD的垂线OE和OF，利用“角平分线上的一点到角的两边相等”得到OE＝OF。从而得到AB=CD。证明：过O作OE⊥CD，OF⊥AB分别交CD、AB于E、F，则CE=DE，AF=BF。∵OP平分∠MPN∴OE=OF连接OC、OA则OC=OA∴Rt△OCE≌Rt△OAF∴CE=AF∴AB=CD3、如果图中有直径，通常

4、是构成直径上的圆周角，利用“直径所对的圆周角是直角”来解题。如：例3、如图3，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径。　　　求证：AB·AC＝AE·AD[分析]：由AB·AC＝AE·AD可得到，AC，AD是Rt△ADC的两条边，因此连结BE，构成直径AE所对的圆周角∠ABE＝90°，从而可以证明△ADC∽△ABE得对应边成比例。证明：（略）4、在有圆与直线相切的问题中，往往要作出过切点的半径，利用“过切点的半径垂直于这条切线”的性质解题。如：例4、如图4，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相

5、垂直，垂足为D。求证：AC平分∠DAB图4图5[分析]：因为CD是⊙O的切线，连结OC，可得OC⊥CD。从而得AD∥OC，再利用产圆的有关性质即可证明。证明：（略）5、在解有关两相切的问题时，作两圆的公切线，是解决这一类问的常用的方法。如：例5、已知：如图5，⊙O1，⊙O2相切于点T，直线AB、CD经过点T，交⊙O2于点B、D。求证：AC∥BD。[分析]：本题有两种情况（分外切和内切），但本题作辅助线的方法是一样的，即过点T作两圆的公切线EF，则有∠A＝∠CTF＝∠ETD＝∠B（外切）或∠ETA＝∠ACT，∠ETA＝∠

6、D，从而得∠ACT＝∠D，就可以证得AC∥BD。证明：（略）6、对于两圆相交的问题，通常要作出公共弦或连心线，这样作可以通过四点共圆而得到等角，以便解决问题。例6、如图6，⊙O1与⊙O2相交于A、B，过B作一割线交⊙O1与⊙O2于D、C，AE、FA分别是⊙O1和⊙O2的直径。求证：AD：AC=AE：AF分析：要证AD：AC=AE：AF即，只要证△ADE∽△ACF证明：连接A、B，D、E，C、F，AE、AF是直径ACF=ADE=在⊙O1中，AED=ABD(同弧所对的圆周角相等)在⊙O2中，A、B、C、F四点共圆，ABD=

7、FAED=F，△ADE∽△ACF，以上六种作辅助线的方法是最基本的方法，对于一些比较复杂的问题，无外是将这几种作法结合起来去解决的。因些掌握这五种作辅助线的方法是学习《圆》这一章的关键，一定要牢固地掌握。