数学建模课程设计报告--飞越北极

《数学建模课程设计报告--飞越北极》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、数学建模课程设计报告设计题目：飞越北极小组编号：07组班级：组员：摘要本文针对“中美航线飞越北极，底特律至北京的飞行时间可节省4个小时”的问题，在飞行速度恒定，时间已给出的条件下，将其转化为计算飞机航程的问题。并以飞机飞行航线所经地点的地理坐标为依据，建立球面数学模型，通过数学方程式将地理坐标转换为空间坐标以及MATLAB数据循环分析等方法获取模型参数，得到相应数据后可计算最优弧和位速度位移公式。对于模型一，假设地球是球体，由数学球面模型绘出的飞机飞行航线，采用MATLAB编程以及立体几何知识计算球面距离得出从北京直接到底特律的时间为10.

2、18734h，而按飞机的原航线则至少需14.17793h，所以至少节省时间为3.9059h。对于模型二，假设地球是旋转椭球体，采用参数方程得出纬度与经度之间的函数关系，然后再用积分方法求得球面距离，最后得出节省时间为3.917h。通过以上方法，对飞行航线和球体的分析可证明“飞越北极，可节省时间为4小时”的命题。关键词：球面数学模型；飞行时间；最优弧一、问题的重述今年6月，扬子晚报发布消息：“中美航线下月可飞越北极，北京至底特律可节省4小时”，摘要如下：　　7月1日起，加拿大和俄罗斯将允许民航班机飞越北极，此改变可大幅度缩短北美与亚洲间的飞行

3、时间，旅客可直接从休斯敦，丹佛及明尼阿波利斯直飞北京等地。据加拿大空中交通管制局估计，如飞越北极，底特律至北京的飞行时间可节省4个小时。由于不需中途降落加油，实际节省的时间不止此数。　　假设：飞机飞行高度约为10公里，飞行速度约为每小时980公里；从北京至底特律原来的航线飞经以下10处：　　　　A1(北纬31度，东经122度)；A2(北纬36度，东经140度)　　　　A3(北纬53度，西经165度)；A4(北纬62度，西经150度)　　　　A5(北纬59度，西经140度)；A6(北纬55度，西经135度)　　　　A7(北纬50度，西经130

4、度)；A8(北纬47度，西经125度)　　　　A8(北纬47度，西经122度)；A10(北纬42度，西经87度)　　请对“北京至底特律的飞行时间可节省4小时“从数学上作出一个合理的解释，分两种情况讨论：　　（1）设地球是半径为6371千米的球体；　　（2）设地球是一旋转椭球体，赤道半径为6378千米，子午线短半轴为6357千米。问题分析：飞机飞行时间等于路程与速度的比值，而飞行速度是一定的，时间就唯一取决于飞行路程，即是从底特律飞越北极到达北京的最优弧（飞机飞行的最优弧可以理解为地球上两点之间的球面距离）。原航线的路程是每两个必经之地的球面

5、距离之和，而新航线的路程就是北京至底特律飞越北极上方的直接球面距离。二、模型的假设1、假设飞机飞行高度约为10千米，飞行速度约为每小时980千米，并且忽略飞机飞行途中各种障碍以及天气影响，空气气流对飞机的阻力不变。2、把地球看成是规则的立体几何图形（球体或旋转球体）,两点之间的航线是两地之间的最短光滑弧。3、假设飞机飞行的地理坐标中的东经度数用正角表示，则西经度数用负角表示；同样北纬度数用正角表示，则南纬度数用负角表示。4、假设飞机每经相邻两地的航程，均以球面上两点间最短距离计算，航程为地球表面两点之间的最短圆弧。不考虑地球的自转，重力影响

6、，同时忽略升降时间。三、符号说明在以下计算中，北京是坐标用A0(400，1160)，底特律的坐标用A11(430，830)，飞机原航线途中符号约定如下：Α：纬度a：赤道半径6378+10=6388km；α1：圆O1所在平面的纬度，即∠OBO1；b：子午线短轴6357+10=6367km；α2：圆O2所在平面的纬度，即∠OAO2；θ：A、B两地的经度差，即∠BO1C；Γ：A、B对应的圆心角；T：飞机飞行L所需时间；t′：飞机按原来航线至底特律所需时间；R：飞机到地心的距离；Β：经度；r1：O1纬度圆的半径；r2：O2纬度圆的半径；L：A、D对

7、应的球面距离；V：飞机的飞行速度；t：飞机飞越北极至底特律所需时间；Δt：飞行节省时间。四、模型分析与建立模型一地球是半径为6371千米的球体，下面模型求解中的图1为其模型。由已知条件可知，根据飞行时间=飞行路程/飞行速度（T=S/V），V是已知恒定的，所以T主要取决于S，于是问题的关键在于如何求得S。飞机飞行的最优弧我们可以理解为就是两点之间的球面距离，所以原航线的路程就是每两个路经之地的球面距离之和，新航线的路程就是北京与底特律的球面距离。当地球是一半径为6371km的球体时，球面上任意两点之间的球面距离L可以根据公式L=(γπR)/1

8、80来计算，所以必须知道两点所对应的圆心角度数γ与飞机到地心的距离R。图1模型1－球体模型二把地球看成是旋转椭球体，则计算两点之间的最短航线比球体复杂，因此考虑用定积分求弧长的方