综合课程设计--常数变易法及应用

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1、重庆理工大学综合课程设计题目：常数变易法及应用姓名：金绍荣学号：10801010108指导教师：何其祥2012年1月5号14目录§1摘要………………………………………………………….2§2关键词………………………………………………….........2§3常数变易法简介……………………………………….....…..2§4常数变易水运的几个应用…………………………….......…..24.1常数变易法在一阶线性齐次微分方程中的应用……………….24.2常数变易法在二阶常系数非齐次线性微分方程中的

2、应用........64.3常数变易法在三阶常系数非齐次线性微分方程中的应用.…….84.4常数变易法在二阶变系数非齐次线性方程中的应用……….…11§5个人总结……………………………………………………14§6参考文献………………………………………………...….1514常数变易法及应用1摘要：本文主要对常数变易法作了简单的介绍和归纳整理了常微分方程常数变易法的几个应用，以便能够熟悉的撑握常数变易法的解题思路和步骤且运用到解决问题中。2关键词：常数变易法；微分方程；齐次；系数3常数变易法简介常数

3、变易法是微分方程中解线性微分方程的方法，就是将齐次线性微分方程通解中的变换为函数,它是拉格朗日（LagrangrJosephLouis,1736-1813）十一年的研究成果，微分方程中所用的公是他的结论。4常数变易水运的几个应用4.1.常数变易法在一阶线性齐次微分方程中的应用一阶线性（1）它所对应的齐次方程为（2）是变量分离方程，它的通解为（3）下面讨论一队线性非齐次微分方程（1）的解法。方程（2）与方程（1）既有联系又有区别设想它们的解也有一定的联系，（3）中的恒为常数，它不可能是（1）的解，

4、要使（1）具有形如（3）的解，不再是常数，将是的待定函数，为此令14（4）两边积分得到将（4）代入（1），得到（5）即两边积分得(6)这里是任意的常数，将代入得到=这就是方程的通解例1.求方程的通解，这里的为常数解将方程改写为（7）先求对应齐次方程的通解，得14又令（8）微分得到（9）将（8）、（9）代入（7）中再积分，得将其代入（8）中，即得原方程的通解这里是任意的常数例1.求方程的通解解原方程改写为（10）把看作未知函数，看作自变量，这样，对于及来说，方程（10）就是一个线性非齐次方程先求齐

5、次线性方程的通解为（11）令，于是代入（10），得到从而原方程的通解为14这里是任意的常数，另外也是方程和解。初值问题为了求初值问题常数变易法可采用定积分形式，即（4）可取为（12）代入（1）化简得积分得代入（12）得到将初值条件、代入上式于是所求的初值问题为或定理①14一阶非线性方程（1）的任两解之差必为相应的齐次线性方程（2）之解；①若是（2）的非零解，而是（1）的解，则的通解可表示为，其中为任意常数；②方程（2）任一解的常数倍或两解之和（或差）仍是方程（2）证明：①设、是非齐次线性方程的两

6、个不同的解，则应满足方程使两式相减有说明非齐次线性方程任意两个解的差是对应的齐次线性方程的解②因为故结论②成立。③因为，，故结论③成立。144.2.常数变易法在二阶常系数非齐次线性微分方程中的应用我们知道常数变易法用来求非齐次线性方程的通解十分有效，现将常数变易法应用于二阶常系数非齐次线性微分方程中。该方法是新的，具有以下优点；①无需求非齐次方程的特解，从而免去记忆二阶微分方程各种情况特解的形式；②无需求出相应齐次方程的会部解组，仅需求也一个即可；③可得其通解公式；现考虑二阶常系数非齐次线性微分

7、方程（1）其对应的齐次方程为（2）下面对（2）的特征方程（3）有实数根和复根加以考虑①若为（3）的一实根，则是(2)的一解，由常数变易法，可设（1）的解为通过求导得到（4）将（4）和代入（1）化简得这是关于的一阶线性方程，其通解为14（5）①若为（3）的一复根，不妨设，且，则为(2)的一解，由常数变易法，可设（1）的解为，与①的推到情形类似，不难求得方（1的通解公式为（6）例求的通解解：相应的特征方程为有解，故设非齐次方程的解为对其求导得代入原方程化简得其通解为所以从而原方程的通解为4.3.常数

8、变易法在三阶常系数非齐次线性微分方程中的应用14前文中对二阶常系数非齐次线性微分方程的解法进行了讨论，以下对一般的三阶常系数非齐次线性微分方程详细论述，此方法弥补了一般情况下特殊才能求解的缺陷，扩大的适用范围。由前面知，二阶常系数非齐次线性微分方程对应的齐次微分方程的特征方程为①若为实特征根，通解为（1）②若为一复根，通解为（2）三阶常系数非齐次线性方程（3）则对应的齐次方程为（4）其对应的特征方程为（5）若为其一实根，为方程的根，则方程（3）的通解为①当为实根时14①当为复根时，不妨设且证明因