平面向量的线性运算以及坐标运算

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1、一、同步知识梳理1、向量：既有大小，又有方向的量．(注意零向量，单位向量)数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．2、向量加（减）法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：．⑷运算性质：①交换律：；②结合律：；③．3、向量数乘运算：⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．①；②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．

2、⑵运算律：①；②；③．二、同步例题分析例1、判断下列命题的真假。（1）零向量是没有方向的；（2）零向量与任一向量共线；（3）零向量的方向是任意的；（4）单位向量都是相等的向量；（5）向量与向量的长度相等；（6）不相等的向量一定不平行；（7）若两个单位向量共线，则必相等；（8）向量就是有向线段；（9）非零向量的单位向量是；（10）若，则；（11）若，则；（12）若，则；（13）若，则。例2、给出下列几个命题：（1）若，则；（2）若，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；（3）在平行四边形ABCD中，一定有；（4）若，则

3、。其中不正确命题的个数为（）A.2B.3C.4D.5例3、如图，在中，，M为BC的中点，则=________。（用表示）变式：1、化简下列各式：（1）；（2）；（3）。2、已知P，A，B，C是平面内四点，且，那么一定有（）A．B．C．D．3、已知，则在以下各命题中，正确的命题共有（）（1）时，与的方向一定相反；（2）时，与的方向一定相同；（3）时，与是共线向量；（4）时，与的方向一定相同；（5）时，与的方向一定相反。A.2个B.3个C.4个D.5个4、已知任意平面四边形ABCD中，EF分别为AD、BC的中点。求证：5、如图

4、，在五边形ABCDE中，若ACDE是平行四边形，且，，，试用表示向量及。例8、设两个非零向量不共线，（1）若，求证：A、B、D三点共线。（2）试确定实数k使得与共线。变式：如图，平行四边形ABCD中，E是DC中点，AE交BD于M，试用向量的方法证明：M是BD的一个三等分点。三、课后作业1、若有以下命题：①两个相等向量的模相等；②若和都是单位向量，则；③相等的两个向量一定是共线向量；④，，则；⑤零向量是唯一没有方向的向量；⑥两个非零向量的和可以是零。其中正确的命题序号是。2、已知下列各式：①；②③④其中结果为零向量的个数为（

5、）A．1B．2C．3D．43、在ABCD中，设，则下列等式中不正确的是（）A．B．C．D．4、若a与b的方向相反，且，则a+b的方向与a的方向；此时．5、若则的取值范围是图16、（广东卷）如图1所示，是的边上的中点，则向量()A.B.C.D.7、在四边形ABCD中，若,则四边形ABCD的形状____8、设为两个不共线的向量，若与共线，则=__________________9、设是两不共线的向量，若，试证三点共线．10、如图，在任意四边形ABCD中，E、F分别是AD，BC的中点，求证：思考题：设点O在△ABC内部，且有，求

6、三角形ABC与三角形OBC的面积之比。平面向量的基本定理及坐标表示一、知识点梳理1、如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2。称不共线的向量e1、e2叫做一组基底。2、已知两个非零向量a和b，做，则叫做向量a与b的夹角。如果a与b的夹角是90°，则称a与b，记作。3、向量的正交分解：4、平面向量的坐标运算（1）平面向量的坐标：设是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，对于平面上任一向量a，有且只有一对实数，使得，记作。（2）平面向量的坐标运算①，则有，，，②

7、设，则有；③向量共线的坐标表示：设，则有a与b共线，；④中点公式设，P为的中点，则对任一点O，有，所以点P的坐标是。二、专题经典讲练例1、设是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是（）A.B.C.D.例2、已知，向量，若，求向量。变式：1、已知，求。2、若，则=___________。3、设向量a=(1,－3),b=(－2,4),若表示向量4a、3b－2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为（）(A)（1，－1）(B)（－1，1）(C)（－4，6）(D)（4，－6）4、已知过点A(－2，m)和

8、B(m，4)的直线与直线2x+y－1=0平行，则m的值为（）A．0B．－8C．2D．10例2、已知点，设的平分线AE与BC相交于E，且，则等于（）A.2B.C.-3D.变式：1、是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足的轨迹一定通过的（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心2、平面直角坐标系中，