求函数f(x)周期的几种常见方法解读

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1、.求函数f(x)周期的几种常见方法　　函数的周期性是函数的一个重要性质．对一般函数f(x)的周期，不少中学生往往不知从何入手去求．为了加深对函数f(x)周期概念的理解，本文以实例来说明求函数f(x)周期的几种常见方法，供读者参考．　　1定义法　　根据周期函数的定义以及题设中f(x)本身的性质推导出函数的周期的方法称为定义法．　　　　　　　　　　(1)...　　　　∴f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．　　注：如果题设函数方程中只有一边含有不为零的常数a，另一边与a无关，这时周期T应取决于a，假设T能被a整除，就分别试算f(x＋2a)，f

2、(x＋3a)，f(x＋4a)，…，当出现f(x＋T)＝f(x)(T≠0)的形式时，就可知T是f(x)的周期．　　　　周期函数，若是，求出它的周期；若不是，说明理由．　　(1)　　∴f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]　　(2)...　　　　∴f(x)为周期函数，3a是它的周期．　　2特殊值法　　当题设条件中有f(m)＝n(m，n为常数)时，常常以此条件为突破口，采用特殊值法解即可奏效．　　　　f(x)是不是周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由．　　　　∴f(x)为周期函数，2π是它的一个周期．　　3变量代换法　　例4设函数f(x

3、)在R上有定义，且对于任意x都有f(x＋1995)＝f(x＋1994)＋f(x＋1996)，试判断f(x)是否周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由．　　解在f(x＋1995)＝f(x＋1994)＋f(x＋1996)(x∈R)中，以x代x＋1995，得　　f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)；(1)　　在(1)中以x＋1代x，得...　　f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)．(2)　　(1)＋(2)，得f(x－1)＋f(x＋2)＝0，　　∴f(x－1)＝－f(x＋2)．(3)　　在(3)中以x＋1代x，得　　f(x)＝－f(x＋3

4、)；(4)　　在(4)中以x＋3代x，得　　f(x＋3)＝－f(x＋6)．(5)　　将(5)代入(4)，得f(x＋6)＝f(x)．　　∴f(x)为周期函数，6是它的一个周期．　　4递推法　　　　f(x)是不是周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由．　　...　　(1)　　在(1)中以x＋2代x，得　　f(x＋4)＝f(x＋6)＋f(x＋2)．(2)　　(1)＋(2)，得f(x)＋f(x＋6)＝0，　　∴f(x)＝－f(x＋6)．(3)　　在(3)中以x＋6代x，得　　f(x＋6)＝－f(x＋12)．(4)　　(4)代入(3)，得f

5、(x＋12)＝f(x)．　　∴f(x)为周期函数，12是它的一个周期．　　5消去法　　例6若函数f(x)定义在R上，且对一切实数x，都有f(5＋x)＝f(5－x)，f(7＋x)＝　　f(7－x)，试判断f(x)是不是周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由．　　解在f(5＋x)＝f(5－x)中以5－x代x，得　　f(x)＝f(10－x)；(1)　　在f(7＋x)＝f(7－x)中以7－x代x，得　　f(x)＝f(14－x)．...(2)　　由(1)和(2)，得　　f(10－x)＝f(14－x)．(3)　　在(3)中以10－x代x，得f

6、(x＋4)＝f(x)．　　∴f(x)是周期函数，4为它的一个周期．　　6结构类比法　　　　f(x)是不是周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由．　　解：　　　　可视sinx为本题中f(x)的一个实例，由此可设想f(x)为周期函数，且2π是它的一个周期．下面进行证明：　　　　于是f(x＋2π)＝f[(x＋π)＋π]＝－f(x＋π)＝f(x)．　　∴f(x)为周期函数，2π是它的一个周期．　　7公式法...　　例8已知y＝f(x)(x∈R)的图象是连续的曲线，且f(x)不为常数，f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称(a＜b)．

7、　　(1)求证：f(x)＝f(2a－x)，f(x)＝f(2b－x)；　　(2)求证f(x)是周期函数，并求出它的一个正周期．　　证明(1)∵f(x)的图象关于直线x＝a对称，且图象连续，不是平行于x轴的直线，　　∴设P(x，y)为曲线上任一点，点P关于x＝a的对称点P'的坐标为P'(x'，y'),　　　　同理可证f(x)＝f(2b－x)．　　解(2)由(1)可知，f(x)＝f(2a－x)＝f(2b－x)，　　∴f(2a－x)＝f(2b－x)，以x代2a－x，得f[x＋(2b－2a)]＝f(x)．　　∵a＜b，2b－2a＞0且为常数，　　∴f(

8、x)是周期函数，2b－2a为它的周期．　　由例8可得到如下的　　定理若函数y＝f(x)(x∈R)的图象关于直线x＝a和直线x＝b(a＜b)对称，且在这两条直线之间再