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1、汕尾市2011年教育教学论文（案例）交流评比会材料学科：数学论文编号：（（县区号）4学科号2顺序号）成果形式（论文或案例）：论文题目：不可微函数单调性判别法及其应用姓名：欧振参单位：陆丰市第二职业技术学校注：1、“学科”，指所写的论文是属于何学科（如语文、生物、德育等）。2、“单位”要完整写出所在县（市、区）和学校全称，例“市城区汕尾中学”摘要：利用Dini导数和对称导数给出不可微函数单调性的判别方法，并应用到函数极值存在性和函数凹凸性的判定。关键词：不可微函数；单调性；判别法；应用Abstract:Inthispaper,twomethodstodeterm
2、inetheexistenceofextremumintheNon-differentiableFunctionsarepresentedbyDiniDerivativeandSymmetricDerivative.Withthesemethods,theExistenceofExtremumandtheFunctionRuggednesscanbedetermined。Keywords:Non-differentiableFunctions;Monotonicity;DistinctionLaw;Applications目录1.Dini导数判别法………………
3、……………………………………………………………（1）1.1定理1.1………………………………………………………………………………………（1）1.2定理1.2………………………………………………………………………………………（2）2．对称导数判别法………………………………………………………………………………（3）2.1定理2.1………………………………………………………………………………………（4）3.推论及应用……………………………………………………………………………………（5）3.1定理3.1………………………………………………………………………………………
4、（1）2.2定理3.2………………………………………………………………………………………（2）4．结束语…………………………………………………………………………………………（9）参考文献………………………………………………………………………………………（10）致谢……………………………………………………………………………………………（11）不可微函数单调性判别法及其应用单调性是数学中的一个十分重要的概念，在数学的许多分支中都有广泛的应用和众多的推广.当函数可微时，可以利用导数刻划函数的单调性.利用导数研究可微函数的性质是微分学的重要内容之一，并且具有非常重要的
5、理论与应用价值。然而，对于不可微函数，相关的理论就显得无能为力。对不可微函数，利用对称导数和Dini导数．刻划了单调性的两个特征,得出不可微函数单调性的一般判别方法。1.Dini导数判别法定义1设,对于所有,下面有四个导数：；；；；分别称为在x处的右上导数、右下导数、左上导数和左下导数，它们统称为Dini导数。Dini导数有可能为;但若不出现这种情况，Dini导数恒存在。特别地，当满足局部Lipschits条件时，四个Dini导数均有限。显然，的导数存在当且仅当四个Dini导数相等.引理1设是[a,b]上的连续函数，且与在（a，b）内均有限，则在[a,b]上的
6、单调增加（或者单调减少）的充要条件是：（或），（或），。定理1.1在[a,b]上是连续函数，且与在（a，b）内均有限,则（1）当，时，在[a,b]上严格增加；8（2）当，，时，在[a,b]上严格减少。证明:因为，，，即：，，故使得（*）下证在（a，b）内任意两点的函数值都不想等。事实上，假设，且，使得。因为在[a,b]上连续，所以在上必有最大最小值。由于，知的最大值与最小值之一必在内取得。不妨设的最大值在取得，即，当时，，这与（*）式矛盾。从而在（a，b）内任意两点的函数值都不想等。再证在（a，b）内增加。事实上，假设（a，b）且，使。不妨设，则（x1,x2）
7、,使得=，这与在（a，b）内任意亮点的函数值都不相等矛盾，故在（a，b）内增加。综上可知，在（a，b）内严格增加。进一步，由在[a,b]上连续知，在[a,b]上严格增加。类似可证（2）成立。因为，，故定理1中的与分别换成与，减少与增加互换，结论仍成立。定理1.2设在(a,b)内连续,则在(a,b)内单调不减的充分必要条件是:,.证明必要性是显然的,现用反证法证明充分性.假若存在8,并且,则存在,使当时,由上极限的性质和题设和题设条件知,存在某个使.令,则可证,事实上,假若,则,由题设条件,存在某个,使,这与的定义矛盾,故,从而有,所有的令趋近零时,得,这与假设
8、条件矛盾.2.对称导数判别法定义2设，
