学年论文--极限的应用 

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1、云南大学数学与统计学院学年论文论文题目：极限的应用姓名杨君波专业数学与应用数学学号20111910121指导教师曹春华提交日期2014年6月16号目录论文总页数：23页引言什么是极限1一、极限在数学领域的运用11.用极限定义导数12.用极限定义左导数、右导数23．用极限证明函数连续44．用极限证明数列收敛5二、极限在物理学中的应用61.用极限辅助求解瞬时速度62.用极限辅助求解瞬时加速度93.用极限思想分析电学中的电路问题13三、极限在概率论中的应用141.极限在概率的连续性问题中的应用142.利用极限研究小概率事件16四、极限在几何学中的应用171.圆的

2、周长182.圆的面积19五、极限在经济学中的应用201.用极限求点弹性202.极限在边际问题中应用20六、极限在化学中的应用211.化学中的极限思想212.极限思想在化学中的应用实例21极限的应用摘要极限的运用极其广泛，在我们工作、学习、生活的各个方面都或多或少涉及到了极限的知识及其思想。特别在学习过程中，极限始终贯穿着我们的诸多学科，时刻影响着我们。在诸多门学科里，极限常常作为我们研究新知识的一个有力工具。本论文主要就“极限的应用”展开论述，并分门别类的剖析极限在各个领域里的重大贡献。【关键词】：极限；导数；函数；数列；收敛；加速度；速度；电路；概率；圆

3、周长；面积；相对分子量；化学元素什么是极限？极限表达的是一种趋势，例如举一个变量，此变量从1开始取，接着变为、再变为、再然后依次变为……、、……，就按照这样的规律一直无限变化下去，很显然这样下去是无止境的，但是此变化存在一种趋势，此趋势就是在变化过程中越来越小且趋近于0。称这种情形下变量所趋近的0就是变量的极限，可简单记为。注意：极限所说的是无限接近，永远不可能达到，或者说是永远不可能相等。极限在各领域中都有其用途，下面就从各门学科中涉及极限运用的问题进行解读。一、极限在数学领域的运用1、用极限定义导数存在函数，此函数在其中一点附近有定义，给自变量一个改变

4、量不妨设为，相应的函数也随之产生了一个该变量。要是极限存在的话，此极限值的大小叫作函数在处的导数，也被叫做微商，简单记作，通过极限在数学里引入了函数求导。从定义可知，导数由值决定，若要用表示的可导范围，那么对于中的每一个值都唯一确定，且唯一。表示的仍然是关于自变量的函数，称为的导函数，22在上述函数导函数定义式中，涉及坐标轴两个方向上的变化量，对应的函数值点是（，），增加变化量后对应的是点（，），将两点相连接便构成了函数图像上的一段割线，当时相当与自变量变化量无限小，则点（，）与点（，）就无限接近，几乎重合，利用极限思想，此时过这两点的割线就可近似看作是过

5、（，）的一条切线。再考虑式子中的表示过点（，）与点（，）割线的斜率大小，当时割线近似成了过（，）的切线，式子也就成了函数在点（，）处的切线斜率大小。由上述性质在数学中引入了导数的几何意义：函数的导数表示曲线在点的切线的斜率。2、用极限定义左导数、右导数：如果函数在点可导，右导数定义作：其中表示的是变化量从大于0的地方无限趋近于0。如果函数在点可导，左导数定义作：其中表示的是变化量从小于0的地方无限趋近于0。例1：（1）、用定义求抛物线的导函数；22（2）、求抛物线上过点（-1，-2）处的切线方程；（3）、求抛物线过点（-2，1）处的法线方程。解：（1）、（

6、2）、因为，由导函数的几何意义得到此抛物线在点（-1，-2）处切线的斜率为k由点斜式可得切线方程（3）、同上题，过点（-2,1）的切线斜率k则过该点的法线的斜率22由点斜式可得到过点（-2,1）的法线方程3、用极限证明函数连续例：证明：若有函数在点处是连续的，则和也在处连续证明：①、因为在连续，则有，因而故有则也在处连续得证；②、因为在连续，则有，又因为，则22，故有，则也在处连续得证。4、用极限证明数列收敛对于任意给定的数列，是实数，如果任意给定的，总存在一个正整数N，当时，都有成立，称数列收敛，即。例：对于数列构造数集：记证明数列收敛的充要条件是。证明

7、：①、充分性假设，那么对于当时，有即故而有则由柯西收敛原理得数列收敛得证；②、必要性22假设数列是收敛的，则对于当时，有，此时，从而因此即故数列收敛的充要条件是得证。二、极限在物理学中的应用在物理学中多处运用到极限知识，直接运用极限的最常见的是用极限思想推导出运动学中的瞬时速率和瞬时加速度。1、用极限辅助求解瞬时速度速度可以简单地认为是单位时间内物体位移的变化量，记起始位置作，起始时刻作,经过的时间后物体位置为，此时平均速率，如果我们对此式子取极限，即当，两个不同时刻间的间隙就会很小，我们可近似将两个时刻看成一个时刻，那么此时平均速率取极限后就能近似的来表

8、示时刻的瞬时速度。例：有一个小球置于一斜面上，由上而下滚动，其运动