毕业论文--常微分方程中积分因子存在性研究

《毕业论文--常微分方程中积分因子存在性研究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文常微分方程中积分因子存在性研究作者：凌晶指导老师：张海摘要：本文讨论了一阶微分方程的积分因子存在的充要条件，主要通过一些特殊的变形方法来得到这九种类型的常微分方程积分因子的解法的通解，如：，，，，，，，，，这几类型各有特点但又紧密联系，并举例说明所得结果.关键词：常微分方程；积分因子；充要条件；恰当微分方程.1引言一阶微分方程+=0,（1）求其解的方法是由其类型决定的.其中一类是方程（1）为恰当微分方程，也就是全微分方程，这种类型方程的左端恰为某个函数的全微分，即可表示成：其通解为，而且方程（1）

2、是全微分方程的充要条件是：.另一类型方程不满足，则它就不是全微分方程.若此时存在一个连续可微的函数使得为一恰当微分方程，即存在函数，使，则我们称为方程（1）的积分因子，此时方程（1）的通解就是.2各种类型积分因子的充要条件由恰当微分方程的充要条件可得，函数为方程（1）的积分因子的充要条件为：，即以上只是一般的常微分方程的积分因子的求法，在越来越多的题型中我们会遇到很多没有见过的题型也可用到积分因子的方法来求解，所学教材中给出了两种类型的积分因子，一种是只与有关的积分因子，另一种是只与有关的积分因子，接下来我会在这两种基础上再介绍几种类型的积分因

3、子.2.1只与有关的积分因子第13页共13页安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文结论一阶微分方程+=0具有只与有关的积分因子的充要条件是：且积分因子证明：假设积分因子为，则为全微分方程，则有，即此时，若只与有关，即则，即方程（1）有形为的积分因子的充要条件是：此时，.例1求方程的积分因子和通解.解：则只与有关该方程有只与有关的积分因子以乘以方程两边，得到：通解为.第13页共13页安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文2.2只与有关的积分因子结论一阶微分方程+=0具有形为的积分因子的充要条件是：且积分因子.证明：假设积分因子

4、，则为全微分方程，则有，即此时，若只与有关，即则，即方程（1）有形为的积分因子的充要条件是：此时，.例2求方程的积分因子和通解.解：，只与有关故方程有只与有关的积分因子第13页共13页安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文=以乘以方程两边，得到：通解为.2.3形为的积分因子结论3方程（1）具有形为的积分因子的充要条件是：且积分因子.证明：假设积分因子为，则为全微方程，有，即令，则有当时，整理得：方程（1）有形为的充要条件是：此时，.例3求方程的积分因子和通解.第13页共13页安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文解：，方程有

5、形为的积分因子=以乘以方程两边，得到：通解为.2.4形为的积分因子结论4方程（1）具有形为的积分因子的充要条件是：（，为不同时为0的常数）且积分因子.证明：假设积分因为为，则为全微分方程，则有，即令，则则即第13页共13页安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文方程（1）具有形为的积分因子的充要条件是：（，为不同时为0的常数）此时，.例4求方程的积分因子和通解.解：，取，，方程有形为的积分因子以乘方程两边，得到：整理得：通解为：.2.5形为的积分因子结论5方程（1）具有形为的积分因子的充要条件是：第13页共13页安庆师范学院数学与计算科

6、学学院2010届毕业论文且积分因子.证明：假设积分因子为，则为全微分方程，则，即令，则，进一步整理得：方程（1）有形为的充要条件为：此时，.例5求方程的积分因子和通解.解：，则方程有形为的积分因子以乘方程两边，得到：第13页共13页安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文通解为：.2.6形为的积分因子结论6方程（1）具有形为的积分因子的充要条件是：且积分因子.证明：假设积分因子为，则为全微分方程，则，即令，则，方程有形为的积分因子的充要条件是：此时，.例6求方程的积分因子和通解.解：，则第13页共13页安庆师范学院数学与计算科学学院20

7、10届毕业论文方程有形为的积分因子以乘方程两边，得到：整理得：通解为：.2.7形为的积分因子结论7方程（1）有形如积分因子的充要条件是：且积分因子.证明：假设积分因子为，则为全微分方程，则，即令，则，整理得：方程（1）有形为的充要条件为：此时，.例7求方程的积分因子和通解.第13页共13页安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文解：，则该方程有形为的积分因子=以乘方程两边，得到：通解为.2.8形为的积分因子结论8方程（1）具有形为的积分因子的充要条件是：且积分因子.证明：假设积分因子为，则为全微分方程，则有令，则，整理得：方程（1）有形

8、为的充要条件是：第13页共13页安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文此时，.例8求方程的积分因子和通解.解：，则该方程有形为的积分因子以乘