线性代数作业提示与答案

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1、线性代数作业提示与答案作业（1）一．二．三．1．阶梯形（不唯一）：，简化阶梯形秩为4；2．简化阶梯形为单位矩阵.四．1．其系数矩阵的行列式值为（该方程组的系数矩阵为方阵，故可以借助于行列式来判定）当时，方程组只有零解，当时，通解为；当时，通解为；2．，当时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷解，通解为.作业(2)一．1．1，2，3；　　2.　　　3.-1204.　　5.6.　7.8.12二．1．1；　　2.以第二列、第三列分别减去第一列，再把第二列、第三列分别加到第一列上，得到=23．0；（注：行列式计算中注意行列式的表示方法不要和矩阵表

2、示方法混淆，而且计算过程中用的是等号）4．作业(3)一．1．c;　2.d;3.a二．1.将第列都加到第一列上，提出公因子，得到().2.由第二列起，各列均减第一列，按第二行展开，得．3．由第行至第一行，相继将前一行元素乘以后加到后一行上，得到4．按第一列展开，得到行列式的值为三．（注：用矩阵的行初等变换化为梯矩阵，数非零行即可.注意矩阵的表示方法和变换过程中用到的是等价符号）作业(4)一.1.;2.24.3.，，4.二.1.a2.a三.四.1..2.不能相乘..3.作业(5)一.1.；2．0；3．；4.;5．二.1.c;2.b;3.b;4

3、.c;5.d四.1五.作业(6)一．1.,-1,；2.3.4.=5.列，6.相等二.1．b；2．c;三.1．；2．四.1.，2.作业(7)一.1.；2.；3．；4．；二.1．a;2.b;3.d;三能由唯一地线性表示，不能由线性表示四．，因，故，从而线性无关.作业(8)一．1．；2．相3．1，通解为二.1．d;2．d；三.（1），（2）又线性无关，故是向量组,的一个最大线性无关向量组.（3）,的秩和矩阵[,]的秩都为3.四．,是向量组的一个最大线性无关组.且.作业(9)一1．2．；；3．n-r二.1.b;2.b;3.a；4.d；5.c；6.

4、d三.证明,线性无关，向量在这组基下的坐标为.四．,基础解系为,通解为（注：先求出分量形式的通解，转化为向量形式的通解，容易得到基础解系。如果所选自由未知量不同，基础解系的形式可以不同，通解形式也可不同）五通解为作业(10)一．1．；二．1．d三.只要证明对于向量的加法和数乘运算封闭.四．=3，=2，=.五．,得到零空间的一组基：，正交规范化，得.作业（11）一．1．；2.0;3.,det=二.1.b;2.d三．1．特征值，特征向量，，，，；2．特征值特征向量，四．计算得特征值，特征向量，特征值特征向量，线性无关，故和对角阵相似。令，则.

5、五.若是的特征值,则有，和逆矛盾。设是矩阵的特征值，是属于的特征向量,则，故是矩阵的特征值.六.设是的属于的特征向量,则:七．，即与有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.八．.（提示：主对角线元之和与特征值之和相等可求得,代入矩阵求行列式应当为零（因为有零特征值），从而得）作业(12)一．1.无,0；2.5,,其中不同时为0；3.一．1.b　　2.c　　　3.a三．1.特征值,对应的特征向量分别是:,,，令:.2..对应的特征向量分别为，规范正交化，分别得:，，，令，则四、设所求特征向量为,则，即有()，规范正交化:令则五、.作业(13

6、)一．1．；2．；3.3；4.二.1.d2.d3.d三.1.A的特征值为:对应的单位化特征向量:,令则将代入得:.2.的特征向量为:.属于1的两个单位正交化特征向量为:，属于10的单位化特征向量为:，记四．，R(A)=2，所以，五．,由，,得：.自我测验题（1）一、1）2）4，163）4）0，25）二、1b2a3d4d三、1）12）由得3）由,得四、增广矩阵为，时有无穷多解，特解为，。齐次方程组的基础解系为通解：其中为任意实数.五、=0，得得特征值为，对应特征向量分别为：，，规范化得，令令，得六、，两边取行列式得故可逆。自我测验题（2）一

7、．1.(√)；2.(√)；3.(√)；4.(√)；5.(√)。二．1.1；2.2；3.3；4.4；5.5.三．1.a；2.b；3.c；4.d；5.a.四．1.解：2.解：因故3.解：五．当，即时，方程组有非零解此时，，取基础解系，，通解为，六．由，求得的特征值为，，对，解，求得基础解系，规范化为；对，解，求得基础解系，规范化为；令，为正交阵，且正交变换,将二次型化为主轴标准形.七．由，知线性无关，是向量组的一个最大无关组，且.八．线性无关，记，，因，满秩，故，因此线性无关.自我测验题（3）一.1.12.相3.4.65.6.367.无8.相

8、9.无10.<二.当时有唯一解；当时无解；当时有无穷多解.三.0（按定义展开或利用初等变换化为上三角行列式）四.五.=矩阵可逆，从而向量组也线性无关.六.七=0，得得特征值为，对应特征向量分别