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1、实用标准文案极坐标与参数方程一、极坐标知识点1.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M是平面内一点,极点与点M的距离
2、OM
3、叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M
4、的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0,)(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.2.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:文档实用标准文案(2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点直角坐标极
5、坐标互化公式在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.3.常见圆与直线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为的圆圆心为,半径为的圆圆心为,半径为的圆过极点,倾斜角为的直线(1)(2)文档实用标准文案过点,与极轴垂直的直线过点,与极轴平行的直线注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程.二、考点阐述考点1、极坐标与直角坐标互化例题
6、1、在极坐标中，求两点之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程。解：两点的直角坐标为它们之间的距离.由于直线垂直于极轴，且距离极点，所以直线的极坐标方程为练习1.1、已知曲线的极坐标方程分别为，，求曲线与交点的极坐标．解：我们通过联立解方程组解得,即两曲线的交点为。1．2.已知圆C：，则圆心C的极坐标为_______文档实用标准文案答案：（）练习1.3已知点c极坐标为，求出以C为圆心，半径r=2的圆的极坐标方程（写出解题过程）；考点2、极坐标与直角坐标方程互化例题2、已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐
7、标系，直线的参数方程是参数），点是曲线上的动点，点是直线上的动点，求
8、
9、的最小值．解：曲线的极坐标方程可化为,其直角坐标方程为，即.……………（3分）直线的方程为.所以圆心到直线的距离…（6分）所以，的最小值为.…………………………（10分）练习2.1、设过原点的直线与圆：的一个交点为，点为线段的中点。(1)求圆C的极坐标方程；(2)求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．解：圆的极坐标方程为……4分设点的极坐标为，点的极坐标为，∵点为线段的中点，∴，……7分将，代入圆的极坐标方程，得文档实用标准文案∴点轨迹的极坐标方程为，它表示圆心在点，半径为
10、的圆．……10分练习2.2（2015Ⅰ理数）(23 )(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中.直线:x＝－2，圆：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求，的极坐标方程；（II）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，，求△C2MN的面积（23）解：（I）因为，，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为。……5分（II）将代入，得，解得，。故，即。由于的半径为1，所以的面积为。……10分二、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的
11、函数①,并且对于的每一个允许值,由方程组①所确定的点都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系,那么文档实用标准文案就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形
12、式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的
