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1、信息与计算科学专业无穷积分与瑕积分数值计算方法探讨信息与计算科学专业 彭智指导教师 李松华 副教授摘 要：在无穷积分与瑕积分原有数值方法的基础上,进一步研究了无穷积分的数值方法：（1）探讨了无穷区间截断法；（2）将原有Gauss-Laguerre公式的积分区间做平移变换得到了一般区域上的数值积分公式；（3）推广了Gauss型求积公式使之适用于带奇函数因子的无穷积分,同时总结了瑕积分数值计算方法.关键词:无穷积分;瑕积分;代数精度;Gauss型求积公式;正交多项式;Taylor展式;复合Simpson公式Abstract:Basedonthegeneralnume
2、ricalmethodsoftheinfiniteintegralandthedefectintegral,thepaperinvestigatesthenumericalmethodsoftheinfiniteintegral.Firstly,thetruncationmethodoftheinfiniteintervalisdiscussedandthenumericalintegralmethodofgeneralintervalisobtainedwiththetranslationoftheintegralintervaloftheGauss-Lagu
3、erreformula;Secondly,thepaperimprovestheGaussintegralformulafortheinfiniteintegralwithanoddfunction’sintegralfactor;Finally,thenumericalintegralofthedefectintegralissummarized.Keywords:Infiniteintegral;defectintegral;algebraicprecision;Gaussstyleformula;orthogonalpolynomial;Taylorfor
4、mula;compoundSimpsonformula引 言随着计算数学和计算机技术发展,在工程计算、信号处理、小波分析、系统工程理论等领域出现了大量关于反常积分的计算问题,因而研究高精度求积公式探讨这类积分显得十分重要.同时无穷积分与奇异积分方程在弹性力学、断裂力学和航空动力学方面也有着广泛应用.其中灵活运用高斯求积公式和消减奇异性方法对解决此问题非常有效([10]).基于上述研究意义,本文在原有无穷区间截断法（[5]）,Gauss-Leguerre公式([12])和Gauss-Hermite求积公式([13])的基础之上进一步研究了无穷区间截断标志的取法,G
5、auss-Leguerre公式的平移变换和带奇函数因子的Gauss型数值积分问题.同时,本文总结了瑕积分的三种数值方法,并通过实例中的误差分析,验证了数值方法的精确度和可靠性.1基本概念在微积分中，按Newton-Leibniz公式求积分有,要求被积函数（1）有解析表达式;的原函数为初等函数;但在实际问题中,多数情况下不为初等函数,且有时也只是通过测量和试验的方法给出若干个离散点的函数值.基于上述原因,对如下积分,(1.1)一般来说，我们采取数值积分方法，即在积分区间上取个点，利用函数值和权值127信息与计算科学专业的积的和作为积分的近似，即或记,(1.2)(1
6、.2)式中,分别为求积节点和求积系数.求积系数与被积函数无关,只与求积节点,求积区间和权函数有关.于是称公式(1.2)为点求积公式,且记(1.3)为一个点求积公式，为求积公式的误差.为了探讨数值积分的计算方法，我们首先引入概念：定义1.1[4]函数时，求积公式(1.2)都精确成立，而,则称该求积公式具有次代数精度.事实上可以验证,当分别为奇数和偶数时，步Newton-Cotes求积公式的代数精度恰为和.特别地,当时,Simpson公式具有三次代数精度，这就是一般不采用步Newton-Cotes公式的缘故.定义1.2[1]设定义在无穷区间上，且在任何有限区间上可积
7、，若存在极限,则称为函数在上的无穷积分，记作,(1.4)并称收敛.若不存在，则发散.类似的可以定义在上的无穷积分,对于在上的无穷积分有,(1.5)其中为任一个实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才收敛.定义1.3[1]设定义在区间上，在点的任一右领域内无界，但在任何内闭区间上有界且可积，若存在极限,则称此极限为无界函数在上的反常积分,记作,(1.6)又称瑕积分收敛,若不存在则此积分则发散.并且被积函数在点右侧是无界的，这时称为的瑕点.类似的可以定义瑕点有(1.7)若有瑕点,则定义瑕积分127信息与计算科学专业.(1.8)定义1.4[6]复合Simpson公式
8、是将分成等份,,且,,在
