无穷级数与无穷积分的关系探讨.pdf

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1、!""!年##月安庆师范学院学报&自然科学版’:)=>!""!第$卷第%期()*+,-.)/0,12,345-675+89)..535&:-;*+-.<625,65’?).>$:@>%AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA无穷级数与无穷积分的关系探讨张千祥&巢湖学院数学系C安徽巢湖DEFGGG’JK摘要H本文讨论了无穷级数与无穷积分的关系C给出IM&N’O&N’收敛时CPQRM&N’TGLNSK成立的几个充分条件U关键词H无穷

2、级数V无穷积分V极限中图分类号HWXYE文献标识码HZ文章编号HXGGY[D]G&DGGD’G[GGXF[GD无穷极数与广义积分的敛散性都是通过极限来定义的C只不过无穷积分是函数的极限C无穷级数是数列的极限C两者有着密切的联系UKJKab定理一^X_IM&N’O&N’收敛‘对任意一列数abCPQRZcTJKCdIM&N’O&N’收敛C且LNSKabTXb[XKJKabIM&N’ONTdIM&N’ON&aGTe’Lab[XbTX该定理的证明见^X_C据此C我们能够将无穷积分的收敛问题转化为无穷级数的收敛问题C故

3、无穷积分的许多结论几乎是无穷级数相应部分的逐字逐句的搬家UKJK但是C我们知道deb收敛fPQRebTGC然而由IM&N’ON收敛得不到PQRM&N’TGU例如bTXNSKLNSJKJKDD^X_IgQc&N’ON收敛C但PQRgQc&N’不存在C原因何在h由定理一C我们稍加分析知Ceb并不相当于M&N’CLNSJKab而相当于IM&N’ONC故eb与M&N’的极限状态之差异也就不足为怪了Uab[XJK现在我们的问题是若IM&N’ON收敛CPQRM&N’Ta&有限数’C那么是否一定有PQRM&N’TG呢h回LNS

4、KNSK答是肯定的UJK定理二若IM&N’ON收敛C且PQRM&N’Ta&a为有限数’C则PQRM&N’TGULNSKNSJK证明若aiGC不妨设ajGC即PQRM&N’TajGfkN&Nle’C当NjNG时C恒有M&N’jNSKNNN[NaaGN[NG&jG’fmNfNG&le’C恒有IM&N’ONlIONTnajGC由PQRaTJKfDNNDDNSJKDGGNJKJKPQRINM&N’ONTJKfILM&N’ONTJK与ILM&N’ONTa&a为有限数’矛盾C故PQRM&N’TGUGNSJKNSKJKJK推论

5、一若IM&N’ON收敛C且IMo&N’ON也收敛C则PQRM&N’TGLLNSJKJKNq证明H由IMo&N’ON收敛fmpjGCkN&le’C当NqjNojN时C恒有rIMo&N’ONrspC即LNorM&Nq’[M&No’rspC由柯西收敛准则知PQRM&N’Ta&a为有限数’C故由定理二即得PQRM&N’TGUNSJKNSJKJK推论二若IM&N’ON收敛C且M&N’在^eCJK_上单调C则PQRM&N’TGULNSJKB收稿日期HDGGD[G][DuBB作者简介H张千祥&XtuY[’C男C安徽巢湖人C巢湖

6、学院数学系副教授C从事概率论的教学与研究工作U第P期张千祥!无穷级数与无穷积分的关系探讨RENR)*证明!不妨设"#$%在&’()*+单调不增(由,"#$%.$收敛/"#$%01($2&’()*+3若不然-99至少4$1#0’%(使"#$1%51(/$6$1时("#$%7"#$1%51(/896$1(,"#$%.$7,"#$1%.$:$$11)*)*#9;$1%<"#$1%=;*#9=)*%(即,"#$%.$:;*(从而,"#$%.$发散(矛盾>由"#$%在&’($-1)*+单调不增(且有下界1(故?@A"#$%

7、:B#B为有限数%(由定理二得!?@A"#$%:1$=)*$=)*)*定理三若"#$%在&’()*+一致连续(且,"#$%.$收敛(则?@A"#$%:13-$=)*证明因"#$%在&’()*+一致连续/8C61(4D#15D5E%(当$F($G2&’()*+H$G;$FH5D时C"#$G%;"#$F%H5#E%I又对上述C(D(4$当$F($G0$时1#0’%(1$GCDH,"#$%.$H5#I%$FI当$6$时(必有J使$由积分中值定理知4K#$11#61%(1)J17$7$1)J1)D(1)J7K7$)J)D

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