常微分论文--关于一阶微分方程的解的存在的探讨

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1、常微分方程论文学院：数学科学学院班级：12级统计班指导教师：宋旭霞小组成员：张维萍付佳奇张韦丽张萍日期：2014.06.06关于一阶微分方程的解的存在的探讨摘要：分析了解的存在唯一性定理，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性，并且对此加以证明。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义。如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。关键词：微分方程连续可微近似计算误差估计一、存在性与唯一性定理：（1）显式一阶微

2、分方程（3.1）这里是在矩形域：（3.2）上连续。（一）、定理1：如果函数满足以下条件：1）在上连续：2）在上关于变量满足李普希兹（Lipschitz）条件，即存在常数，使对于上任何一对点，均有不等式成立，则方程（3.1）存在唯一的解，在区间上连续，而且满足初始条件（3.3）其中,称为Lipschitz常数.解题思路：1）求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程的连续解。2）构造近似解函数列任取一个连续函数，使得，替代上述积分方程右端的，得到如果，那么是积分方程的解，否则，又用替代积分方程右端的，得到如果，那么是积分方程的解，否则，继续进行，得到（3.4）于是得到函数序列.1

3、）函数序列在区间上一致收敛于，即存在，对(3.4)取极限,得到，即.4)是积分方程在上的连续解.（二）、五个命题这种一步一步求出方程解的方法——逐步逼近法.在定理的假设条件下,分五个命题来证明定理.为了讨论方便,只考虑区间,对于区间的讨论完全类似.命题1设是方程(3.1)定义于区间上,满足初始条件（3.3）的解,则是积分方程(3.5)的定义于上的连续解.反之亦然.证明因为是方程(3.1)满足的解,于是有两边取到的积分得到即有所以是积分方程定义在区间上的连续解.反之,如果是积分方程(3.5)上的连续解,则（3.6）由于在上连续,从而连续,两边对求导,可得而且,故是方程(3.1)

4、定义在区间上,且满足初始条件的解.构造Picard的逐次逼近函数序列.（3.7）命题2对于所有的，（3.6）中的函数在上有定义，连续且满足不等式（3.8）证明用数学归纳法证明当时，，显然在上有定义、连续且有即命题成立.假设命题2成立，也就是在上有定义、连续且满足不等式当时，由于在上连续,从而在上连续，于是得知在上有定义、连续,而且有即命题2对时也成立.由数学归纳法知对所有的均成立.命题3函数序列在上是一致收敛的.记,证明构造函数项级数(3.9)它的部分和为于是的一致收敛性与级数(3.9)的一致收敛性等价.为此，对级数(3.9)的通项进行估计.(3.10)由Lipschitz条

5、件得知设对于正整数,有不等式成立,则由Lipschitz条件得知,当时,有于是由数学归纳法可知,对所有正整数,有(3.11)由正项级数的收敛性,利用Weierstrass判别法,级数(3.9)在上一致收敛.因而序列在上一致收敛.设,则也在上连续,且命题4是积分方程(3.5)的定义在上的连续解.证明由Lipschitz条件以及在上一致收敛于,可知在上一致收敛于.因此即故是积分方程(3.5)的定义在上的连续解.命题5设是积分方程(3.5)的定义在上的一个连续解,则,.证明设,则是定义在的非负连续函数,由于而且满足Lipschitz条件,可得令,则是的连续可微函数,且,,,,,即,

6、于是在上,故,即,,命题得证.（三）、对定理说明附注:1、存在唯一性定理中的几何意义.在矩形域中,故方程过的积分曲线的斜率必介于与之间,过点分别作斜率为与的直线.当时，即,（如图(a)所示），解在上有定义；当时,即,（如图(b)所示），不能保证解在上有定义，它有可能在区间内就跑到矩形外去，只有当才能保证解在内，故要求解的存在范围是.2、由于李普希兹条件的检验是比较费事的，而我们能够用一个较强的，但却易于验证的条件来代替他，即如果函数在矩形域上关于的偏导数存在并有界，即，则李普希兹条件条件成立.事实上这里.如果在上连续，它在上当然满足李普希兹条件.但是,满足李普希兹条件的函数不

7、一定有偏导数存在.例如函数在任何区域都满足李普希兹条件,但它在处没有导数.3、设方程(3.1)是线性的,即方程为易知,当在区间上连续时,定理1的条件就能满足,且对任一初值所确定的解在整个区间上有定义、连续.实际上,对于一般方程(3.1),由初值所确定的解只能定义在上,是因为在构造逐步逼近函数序列时,要求它不越出矩形域,此时,右端函数对没有任何限制,只要取.4、Lipschitz条件是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件.例如试证方程经过平面上任一点的解都是唯一的.证明时,,在上连续,也在上连续,因