常微分方程--第三章 一阶微分方程的解的存在定理(3.1-3.2)

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1、第三章一阶微分方程的解的存在定理需解决的问题§3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法一存在唯一性定理1定理1考虑初值问题(1)初值问题(3.1)的解等价于积分方程的连续解.证明思路(2)构造(3.5)近似解函数列(逐步求(3.5)的解,逐步逼近法)这是为了即下面分五个命题来证明定理,为此先给出积分方程的解如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下含有未知函数,则称这样的关系式为积分方程.积分方程命题1初值问题(3.1)等价于积分方程证明:即反之故对上式两边求导,得且构造Picard逐步逼近函数列问题:这样构造的函数列是否行得通,即上述的积分是否有意义?注命题2证明:(用数学归纳法

2、)命题3证明:考虑函数项级数它的前n项部分和为对级数(3.9)的通项进行估计于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有现设命题4证明:即命题5证明:由综合命题1—5得到存在唯一性定理的证明.一存在唯一性定理1定理1考虑初值问题命题1初值问题(3.1)等价于积分方程构造Picard逐步逼近函数列命题2命题3命题4命题52存在唯一性定理的说明3一阶隐方程解存在唯一性定理定理2考虑一阶隐方程则方程(3.5)存在唯一解满足初始条件三近似计算和误差估计求方程近似解的方法---Picard逐步逼近法,这里注:上式可用数学归纳法证明则例1讨论初值问题解的存在唯一区间,并求在此区间上与真正解的误差不超解

3、由于由(3.19)例2求初值问题解的存在唯一区间.解例3利用Picard迭代法求初值问题的解.解与初值问题等价的积分方程为其迭代序列分别为取极限得即初值问题的解为§3.2解的延拓问题提出对于初值问题例如初值问题1饱和解及饱和区间定义12局部李普希茨(Lipschitz)条件定义2对定义2也可如下定义注3解的延拓定理定理证明定义函数以上这种把曲线向左右两方延拓的步骤可一次一次地进行下去.直到无法延拓为止.它已经不能向左右两方继续延拓的,即得到了(3.1)的饱和解.最后得到一条长长的积分曲线,推论1则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解.推论2证明推论3例1讨论方程解该方程右侧函数确定在整个x

4、y平面上且满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理条件.其解为例2解注