《342函数模型及其应用》导学案

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1、《3・4.2函数模型及其应用》导学案【学习目标】1•利用计算工具,比较指数函数、对数函数以及幕函数增长差异;结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。2.收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幕函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛应用C【学习重难点】1.指数函数、对数函数以及幕函数的增长特征。2.函数模型的广泛应用。【学习过程】【要点回顾】1••三种增长型函数模型的图象与性质性质y=ax(a>l)y=logax(a>l)y=xn(n>0)在(0,+oo)上的增减性增长速度越来越_越

2、来越_相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现为与平行随x增大逐渐表现为与平行随n值变化而不同2.三种增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数y=ax(a>l)^幕函数y=xn(n>O)ffi区间(0,+®),无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于X：但由于尸汇的增长速度y=xn的增长速度，因而总存在一个Xo,当X>Xo时有•(2)对数函数y=logax(a>l)与幕函数y=xn(n>0)对数函数y=logax(a>l)的增长速度，不论a与n值的大小如何，总会y=xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x(),使x>x()

3、时有.由(1)(2)可以看岀三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0,+00)上，总会存在一个xo,使x>x0时有3.解决实际问题的解题过程(1)对实际问题进行抽象概括:研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；(1)建立函数模型:将变量y表示为x的函数，在中学数学内,我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；(1)求解函数模型:根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解。4.几类函数

4、模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a、b为常数,aHO)二次函数模型f(x)二ax'+bx+c(a,b,c为常数,aH0)指数函数模型f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0,且aH1)对数函数模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0,且aH1)幕函数模型f(x)=axn+b(a,b为常数,aHO)反比例函数模型y=—+b(k、b为常数,kHO)对勾函数/(x)=x+—(tz>0,x>0)X【典例探允】题型1：数学建模及几类不同增长函数模型的比较例1.某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月

5、的产量分别为1万双,1.2万双,1.3万双,1.37万双.由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时,接受定单不至于过多或过少，需要估计以后儿个月的产量.厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂长，就月c1份xj产量为y给出四种函数模型:y=ax+b,y=ax'+bx+c,y=ay+b,y=abx+c,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？题型2:指数函数、对数函数模型的应用例2.现有某种细胞100个,其中有占总数■的细胞每小时分裂一次，即由

6、1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去,经过多少小时，细胞总数可以超过1010个?(参考数据:lg3=0.477,lg2=0.301)例3.有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量。现假设下雨和蒸发平衡，只污染物和湖水均匀混合。r用g(o=£+[g(o)一£]厂’(#>0)，表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克rr数(我们称英湖水污染质量分数),g(o)表示湖水污染初始质量分数「(1)当湖水污染质量分数为常数时,求湖水污染初始质量分数；(2)分析g(0)<2时，湖水的污染程度如何。r题型3:

7、分段函数型,056）0.1+151n例4•有吋可用函数f(x)=6）x-4描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数⑴表示对该学科知识的常握程度，正实数a与学科知识有关。(1)证明当x>7时，掌握程度的增加量总是下降；(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121],(121,127],(121,133]。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%,请确定相应的学科。例5.已知某企业原有员工2000人，每人每年可为企业创利润3.5万元.为应对国际金融危机给企业带來的不

8、利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗.为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%,并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元.据评估，当待岗员工人数不超过原有员工1%吋,留岗员工每人每年可