线性代数课程总结

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1、线性代数课程总结第一章行列式§1.1二阶、三阶行列式（一）二阶行列式t:（二）三阶行列式flu政宀产丸+

2、位置上的元索均相等，则称矩阵三与矩阵三相等，记为A-Bo即如果"=(气*=外)—且吟・械・12,・：曲jj-12,-■-,*)则A^B§2.2矩阵的运算(-)矩阵的加法和数乘矩阵定义2.3两个曲行三列矩阵曲・3)・$°却对应位置元索相加得到的曲行勺列矩阵，称为矩阵三与矩阵三的和，记A'B°定义2.4以数土乘矩阵三的每一个元素得到的矩阵，称为数与矩阵三的积，记作kAO由上面定义的矩阵加法、数与矩阵的乘法，不难得到下面的运算律。设4b9c.°都是海心矩阵，人上是数，则(1)A++C)(3)EF)・o(5)“(7)卜

3、▲■▲(二)矩阵的乘法定义2.5设矩阵的列数与矩阵〃■菊z的行数相同，则由元素%=^iA^■如知"构成的曲行二列矩阵称为矩阵上与矩阵三的积，记为C=A-B或ABO可看出：1、两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。2、矩阵不满足交换律。3、-般矩阵用大写字母儿叭X罠…表示，但1行可列或可行1列矩阵，有时也用小写字母鼻卜、x.»•••表示。矩阵的乘法冇下列性质：(1)(旳(2)gSfi.AC+BC(3)(4)S)■啊—砂)(三)矩阵的转置定义2.6将曲心矩阵三的行与列互换，得到的曲心矩阵，称为矩阵三的转置矩阵，记为才'或

4、三。转置矩阵冇下列性质：(2)(▲询・才7⑶3W(4){Afff-ffK§2.3逆矩阵定义2・7対于1-阶矩阵三，如果存在三阶矩阵三，使得那么矩阵三称为可逆矩阵，而三称为上的逆矩阵。如果三可逆，上的逆矩阵是唯一的。逆炬阵的性质：（1）可逆矩阵上的逆矩阵*是可逆矩阵，H0尸■心（2）两个同阶可逆矩阵儿呂的乘积是可逆矩阵，且⑷■矿才。（3）可逆矩阵三的转置矩阵上是可逆矩阵，且⑷7・才了第三章矩阵的初等变换与线性方程组§3.1矩阵的初等变换定义3・1对矩阵施以下列3种变换，称为矩阵的初等变换。（1）交换矩阵的两行（列

5、）；（2）以一个非零的数右乘矩阵的某一行（列）；（3）把矩阵的某一行（列）的“咅加于另一行（列）上。定义3.2对单位矩阵/施以一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵。定理3・1设比-（1）对三的迂施以某种初等变换得到的矩阵，等丁•用同种的曲阶初等矩阵左乘上。（2）对上的刃施以某种初等变换得到的矩阵，等于用同种的玄阶初等炬阵右乘三。定理3.2任意一个矩阵4-经过若干次初等变换，可以化为下面形式的矩阵二。定理3.3＜阶矩阵上为可逆的充分必耍条件是它可以表示成一些初等矩阵的乘积。§3・2矩阵的秩定义3.3设山■如是詹心

6、矩阵，从二中任取匕行*：列XmiD阳0）,位于这些行和列的相交处的元素，保持它们原來的相对位置所构成的上阶行列式，称为愆阵三的一个'阶子式，称为矩阵■二的一个孑阶子式。定义3・4设三为曲心矩阵。如果上中不为零的子式最高阶数为厂，即存在厂阶子式不为零，而任何尸*1阶子式皆为零，则称厂为矩阵三的秩，记作秩s■『或当上・°时，规定『5・°。显然：『⑷很明显，曲噪*»当r(4)-时，称矩阵上为满秩矩阵。定理3.4矩阵经初等变换后，其秩不变。第四章向量组的线性相关性§4.1向量间的线性关系(一)线性纽合线性方程组(3.1

7、)写成常数列向量与系数列向量如下的线性关系称为方程组(3.1)的向量形式。于是，线性方程组(3.1)是否有解，就相当于是否存在一组数：鬲二鸟…•■召使线性关系式成立。定义4.1对于给定的向量0吗•如果存在组数缶島■・・・■&■使关系式成立，则称向量B是向量组叫叫・・・％■的线性组合或称向量卩可以由向量组％■线性表示。定理4・1向量可由向蜃组可由向量组幻■（叫吆…心）'。■也…』）线性表示的充分必要条件是以叫•％・••・％为列向蚩的矩阵与以陌吗■…■务.0为列向量的矩阵有相同的秩。（-）线性相关与线性无关定义4.

8、2对于向量组屿•巧如果存在一组不全为零的数A使关系式成立，则称向量组网吗••••••线性相关；如果上式当且仅当鬲■為・・・・％・°成立,则称向量组勢・f■线性无关；（三）关于线性纟R合与线性相关的定理定理4.2向量组线性相关的充分必要条件是：其屮至少有一个向量是其余个向量的线性组合。定理4.3如果向罐组晦•丐•…•吗线性相关，而碑，円•…■吗线性无关，则向罐0可由向量组气・码＞•…•巧