系统辨识第9讲

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1、《系统辨识》第9讲要点第5章线性动态模型参数辨识一】【小二乘法5.8最小二乘参数估计的递推算法所谓递推算法就是根据新的观测数据实时修正参数估计值,随着时间的推移，逐步获得满意的辨识结果.5.8.1递推算法形式•递推算法推导在2〃阶“持续激励”输入信号的作用下，加权最小二乘法的解为0WLS=(^ALHLylH[ALzL=^A(i)h(i)hT(i)(何)记W时刻的参数估计值为&伙)A(i)h(iW⑺]力⑴加比⑴令R(k)=XA(i)h(i)hT(i)f并利用1=1R-lR(k—l)ff(k-1)=^A

2、(i)h(i)z(i),/=!则有<0伙)=0(k-1)+R~x(k)h(k)A(k)[z伙)-hT伙)0伙-1)]R(k)=R(k-1)+A(k)方伙)方丁伙)乂设R(k)=-R伙)，可导出如下的加权最小二乘估计递推算法，记作kWRLS(WeightedRecursiveLeastSquaresalgorithm),rA.A,A0伙)=0伙—1)+-/?_1(k)h(k)A(H(k)一hT(k)ff(k一1)]

3、置P伙)=丄R」伙)=(z)h(z)hr(O=[P_，伙一1)+A仗)h伙)h『伙)『，并k_i=」利用矩阵反演公式(A+CBCy=A~l-A'C^B1+CTA-]C)CTA-],令增益矩阵为：K伙)=P伙)h伙)A伙)那么算法将演变成下面所示的另一种递推算法形式"入7K入0仗)=ff(k一1)+K仗)[z伙)一hT伙)0伙一1)]「-1-1•K伙)=P(k一1)力伙)hT(k)P(k一l)h(k)+—L/伙)_P(k)=[I-K(k)hT(k)]P(k-1)•说明上面给出的这两种加权最小二乘估计

4、递推算法形式都是很常用的，其中一个式多用于理论分析，另一个比较适用于在线计算。如果取加权因子A(k)=1，则网种加权最小二乘递推算法就变成普通的最小二乘递推算法,记作RLS(RecursiveLeastSquaresalgorithm)o•矩阵P伙)的递推关系矩阵P(R)的递推关系：P(k)h(k)=P(k-1)"伙)[1+hT(k)P(k一1)方伙)/1伙)「,P(k一1”2伙)=P伙)方伙)[1—hT(k)P(k)血伙)4伙)广,hT伙)P(k)h(k)=hT(k)P(k—1)血伙)[1+hT(k

5、)P(k-1)方伙)/1伙)]一，hT(k)P(k-1)/1(*)=hT伙)P(k)h(k)\-hT伙)P伙曲伙)/1伙),K(k)P2伙"2伙)=W(k)P2(k一W)[l+hT(k)P(k-1)/瞅)4伙)「2,hT(kp(k一l)fi(k)=hT(k)P2(k)h(k)[l-hT(k)P(k)h(k)A(k)Y2,•矩阵P伙)的对称性P(幻是一个对称、菲增的矩阵(为什么?)。为了保证计算过程中戶(幻矩阵始终是对称的，算法的第3式可采用下而的计算式，以保证不破坏尸(0矩阵的对称性。P(k)=P(

6、k-1)—K(k)K「伙)hT(k)P(k一l)h(k)+_A(k)_•矩阵P伙)的误差传递在计算过程屮，增益矩阵攵(A)可能产生误差，经过算法的迭代，造成误差传递和累积，最后将影响辨识算法的精度。为此，可采用下面的计算式，以截断误差的传递，保证辨识精度。P(k)=[I-K(k)KT伙)]P伙K(k)KT伙)F+K(k)A伙)伙)5.8.2初始值的选择递推算法的初始值一般可取JP(O)=/I,m=e.其屮d为充分大实数，e为充分小实向量，这是因为:厂

7、(0)+工MMW⑴;=

8、pT(O)0(O)+工4

9、⑴方⑴z(i)1=1显然，选择初始値吋，必须使P-'(O)和3(0)都很小，接近于0。5.8.3F(力矩阵的基本性质矩阵P躺具有如下一些基本性质：①尸(力是对称、菲奇异矩阵；②心｛旷伙)｝、心｛旷伙-1)｝「亠心｛严(0)｝，其中j｝表示短阵的最小特征值；③lirn/Lmin(P-lU)｝=^;⑤limP伙)=0,W.P.1・«->005.8.4残差与新息的关系残差g(k)与新息7伙)的关系:£伙)=乏伙)l+A(k)hT(k)P(k-l)h(k)£伙)=[1—A(k)hT(k)P(k)h(k)]z(

10、k)5・&5准则函数的递推计算准则函数丿（幻的递推计算式：］J(k)=丿伙一1)+厂伙)h*(k)P(k一l)h(k)+A~k)式中z（k）=z（k）-hT伙）&（R-1）,是&时刻的新息,它与41时刻的参数佔计值有关。5.8.6递推算法的收敛性质定理考虑最小二乘辨识问题，只有当噪声刀（力为零均值白噪声时,递推算法给出的参数佔计值方仏）才是一致收敛的，即有lim3仗）=0（）,W.P」k-»oo其屮0。为模型参数真值.定理的证明依靠以下一些事实：①由歹