第二章作业解答

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1、2.1已知某一区域屮给定瞬间的电流密度J=C（x3ex-i-y3ey+z3ez）,其中C是大于零的常量，求：在此瞬间，点（1,2）处电荷密度的时间变化率；解：由电流连续性方程2+鲁=0P26（2.2-8）所以屯荷密度的时间变化率为:dJydzd（cx3）a（cy3）m3）II■Idxdydz=-（3x2+3j2+3z2）在点（1,・1,2）处的电荷密度的时间变化率为・18Co2.2设在某静电场域中任意点的电场强度均平行于兀轴。证明：（1）E与坐标y,z无关；（2）若此区域屮没冇电荷，则E与坐标兀无关。证明：（

2、1）因为任意点的屯场强度均平行于兀轴，这说明电场强度的振动方向沿兀方向,电场强度E的表达式可写为E=exEx（x9y9z）又因为是静电场,为有源无旋场，所以该电场强度的旋度为零。即VxE=ddxExd¥EyddzEXddxExe..ed_d_dydz00所以警=0并且坐l=0,这就说明分量必与坐标y,z无关，即电场强度E与dzdy（2）因为此区域没有电荷，这说明此区域没有电场的源，p=0,电场的散度也为零，即"=警+譽+譽=警“所以E与坐标，无关。2.5从微分形式麦克斯韦方程组导出电流连续性方程解：微分形式的

3、麦克斯韦方程组VxH=J+—dtVxE=-^，其中和电流有关的是第一个全电流方程VXH=j^dtdtV・B=0V•D=/?（丽、因为矢量的旋度的散度恒为零，即"皿°,Wv.（7+-）=o即E+"•罟"••/+驾浮（因为v是对空间坐标求导，获对吋间求导,:者相互独立，可以互换）也就是说m+晳Lg+警“，即电流连续性方程。得证。2.6试证明通过屯容器的位移屯流等于导线中的传导电流证明：假设平行电容器之间的介质的介电常数为£,电容器的面积为S,电容器间距为厶根据图示可知，位移电流与传导电流“方向相同根据定义位移电流

4、密度为:dbdE=8dtdt因为电场强度E=y，所以位移电流Id=JdS=^-^-adtcdud（cu）dQdtdtdt其中电容器的电容c=^=¥aU2.7线性各向均匀介质中某点的极化强度户=1陋-30勺,+5兀，Dz=20.5,求这点的E和力解：极化强度P=€qXE=-1)E=£。(巧-1)-^-=(1-—)£>]_]_]_4J-f1_205l~4A31所以电位移欠量P=4.1P=73.8ex一123©+20.5耳电场强度E==(6.3乙-10.5^+1.75eJxlO,22.9有一个内、外半径分别为Q和b

5、,介质常数为$的介质球壳，其屮有密度为p的均匀电荷，求任一点的电位移矢量及球壳内的极化电荷密度。解：由球对称性可知，电位移矢量的方向沿着球的半径方向，大小随着半径r的变化而变化。根据积分形式的麦克斯韦定理]sDdS=Qf=[pdV分段考虑：(1)若0v厂va,则0=0,D=0(2)*4^r2=Q3r2(3)若r>b,由于电荷均匀分布，则0=/?¥(&'-a'),D^4m2=Q,所以D二Q异(宀刊4岔2伽23r2(4)球壳内的极化电荷密度满足p产円P(P242

6、.1-23)根据极化强度P和电位移矢量D之间的关系即P=E.xE=eQ(£r-1)E(P252.1-31)；D=s.ErE(P252.1-32)--D(1)一P=g—l)E=g—l)——=1——D£q£『£r>所以球壳内的极化电荷密度为■/1I/1、、/、pp=-v・p=_v・i—b=——i*v・D=——i空p=丑一i