山西省忻州市高考数学专题恒成立问题复习教学案（无答案）

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1、恒成立问题一、教材分析：本节课主要内容是继一元二次不等式及其解法Z后的一个拓展和补充，同时也是对研究函数和不等式的一个渗透。通过引入中求两个不等式的解集问题，引出我们这节课的主题一:将一元二次不等式中的恒成立问题转化为一元二次不等式的解集为R问题处理。通过例1让学生直观了解一元二次不等式恒成立所需的条件；再通过例2让学生理解不等式恒成立所需条件；最后通过例3让学生深入理解一元二次不等式恒成立所需条件，以及通过此道题的解法的繁琐性让学生探索是否还有其它方法，从而引出本节课主题二：将一元二次不等式屮的恒成立问题转化为求最值问题处理。三个例题，由浅入深，层层递进，即学会解题方

2、法,又总结了规律，同时又渗透了数学思想。二、学情分析：本节课的教学对象是高一学生，学生的基本情况是：已经熟练掌握一元二次不等式的解法，能利用图象解决较简单的方程和不等式问题，但对含参的一元二次不等式、恒成立问题缺少办法，主要表现在题意的理解以及合理的等价转化，不善于利用三个“二次”之间的内在联系灵活转化，不善于分类讨论，不善于归纳总结，对函数、方程、不等式的处理方法不完整，没有形成模式。三、教学分析：教学目标：1.理解二次函数的图像、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系；2.掌握一元二次不等式的恒成立问题的等价转化；3.通过用不等式、函数、方程表述数量关系的过程，体会

3、模型思想、建立分类讨论意识以及数形结合观点和普遍联系的辨证观；4.经历从不同角度寻求分析问题和解决问题方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。教学重难点：重点：一元二次不等式中的恒成立问题的等价转化。难点：含参不等式的讨论和恒成立问题的正确有效等价转化。教学策略：在“教师是主导，学生是主体”理念指导下，本节课主要采取探究式教学方法，即“问题驱动一一小组讨论一一启发诱导一一探索结果一一拓展提高”，注重“引、导、思、探、归”的有机结合。引导学生学习方式发生转变，釆用激发兴趣，主动参与，积极体验，自主探究，总结提高的学习方式，形成师生互动的

4、教学氛围，充分调动学生的学习积极性，为学生提供白主探究，白主学习的时间和空间。教法：(1)启发式教学，始终以问题驱动，引导学生在不断思考屮获取知识；(2)互动式教学，体现在提问，例题探索，学生板演，课堂练习，小结等方面，引导学生积极参与。课堂教学突出以下三个方面：①导一一教师引导，循序渐进；②动一一师生互动，小组讨论，共同探索；③归——归纳总结，拓展提高。四、课堂进程：环节一：引入回顾回顾求两个一元二次不等式•？+2兀+3>0和一X?+2兀一3>0的解集。引出本节课的主题一：将一元二次不等式中的恒成立问题转化为一元二次不等式的解集为R问题处理。环节二：知识提炼1.将一元

5、二次不等式中的恒成立问题转化为一元二次不等式的解集为R问题处理：Q〉0A<0(2).6ZX2+bx+c<0(6zH0)恒成立u>a<0A<0(l).6zx2+bx+c>0(。丰0)恒成立o环节三：典例剖析【例1】•设函数/(x)=-x2-iwc-i,若对Vxe/?,/(x)<0恒成立，求实数加的取值范围・【设计意图】直接利用转化模型直接求A=m2-4<0即可.【例2】.设函数f(x)=mx2若对于Vxg/?,f(x)<0恒成立,求实数加的取值范围.【设计意图】在例1的基础上增加参数的讨论是否为一元二次不等式再计算△=加2一4所需满足的条件.解：当m=0时，—lvO恒成立

6、，・••加=0可取。当m^O时，•••对X/xwR,/(x)<0恒成立［m<0•••<9-4a恒成立，求实数a的取值范围.【设计意图】继例1和例2之后，本题主要考查二次函数在给定区间上恒成立，需要对参数进行进一步的讨论。同时通过本题的另一种解法引出本节课的笫二个主题：将一元二次不等式中的恒成立问题转化为求最值问题处理。解法1:不等式等价于/+祇+3_Q>o在区间［—1,1)上恒成立。°a设g(x)=Q+做+3-a,gO)的对称轴为兀=——当一-

7、>1即时，g(x)在［-1,1)上单调递减，・・・gCx)>g(l)又g(l)=4>0恒成立，/.a<-2可取当小号1即-2"2时,g(x)在r上单调递减,在上单调递增9巳(-

8、)★勿+°(气)+3"一才宀>0—6vav2/•—2vav2当一^<-1即时，g(X)在［一1,1)上单调递增，・・・&(兀)罰二g(j)=—2d+4>0/.a<2与ah2矛盾，舍去综上所述：a的取值范围为a<2.解法2:不等式等价于+ar+3—Q>0在区间［-1,1)上恒成立.即a(l—x)v兀？+3在［-1,1)上恒成立.22・•・a<入*>在［-1,1)上恒