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1、正弦定理数学思想之函数与方程函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题屮的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是：实际问题f数学问题f代数问题f方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y=f(x
2、),就可以看作关于x、y的二元方程f(x)-y=0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。函数描述了口然界中数量之间的关系，两数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研允。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地,函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、fT(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幕函数、指数函数、对数两数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质
3、，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外,方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是髙考屮考查的重点。我们应用函数思想的儿种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题;有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答
4、；等差、等比数列中,通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。示范性题组1.己知等差数列的前n项和为S“，且Sb=Sf/(pHq,p>q^N),K'JSp+(/=。2.关于x的方程sin2x+cosx+a=0有实根，则实数a的取值范围是。学习目标：学握函数与方程的数学思想、正弦定理的证明过程以及性质。知识梳理在NABC中，角A、B、C的对边分别为°、b、c,则一纟一=一。一二—,这就是正弦定sinAsinBsinC理.在这个定理的证明过程中蕴涵着丰富的几何意义.为了简单,仅以锐角三角形为例作简要说明.直角三角形的情形非常简单，钝角三角形的情形与锐角三角形
5、类似.1、三角形高法:dsinB,bsinA是/ABC的c边上的高；asinC,csinA是ZABC的b边上的高；/?sinC,csinB是"ABC的。边上的高.根据这个几何意义，定理证明如下：作锐角三角形ABC的高CD,则CD二dsinB=bsinA.所以」一=丄，同理丄.sinAsinBsinBsinC因此亠二上=」一・sinAsinBsinC2、三角形外接圆法:丄,」一是ZABC的外接圆直径.根据这个儿何意义，定理证明如下：sinAsinBsinC作锐角三角形ABC的外接圆直径CD,连结DB.根据同弧所对的圆周角相等及直径所对的圆周角是直角得，ZA=ZD,ZDBC=90°,CD=2
6、R（R为/ABC的外接圆半径）.所以sinA=sinD---^―,所以一—=2R・CD2RsinAbc同理=2R、=2R•sinBsinC因此===sinAsinBsinC3、三角形面积法：丄"sinC,丄bcsinA,丄acsinB是三角形ABC的面积.根据这个几何意义，定理证明如下：222作锐角三角形ABC的高CD,则CD=asinB.所以三角形ABC的面积S=-ABDCD=-^csinB・22同理S=—absinC,S=—bcsinA,所以—bcsinA=—acsinB=—absinC,22222同除以-abe,再取倒数有丄=丄=厶.2sinAsinBsinC4、向量的数量积法：r
7、rir把asinB.bsmA变形为dcos（—-B）上cos（一-A）.则在锐角三角形ABC中，作高CD,则22忤
8、c°s（〒B）,忡c。付A）分别是向量eg与向量CD的数量积.利用这个儿何意义，定理证明如下：作锐角三角形ABC的高CD.因为AB=CB-CA，所以0二乔•CD=(C^-C4)eCD.所以西•丽=西・页，所以6/1c5
9、cos(y-B)=bcbcos(^-A),即asinB=bsinA.所以°・sinAsinB5、
