矩阵的物理意义

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1、矩阵的内涵如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看來就和文有差不多。然而“按照现行的倒际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，这就带来了教学上的困难。*矩阵究竟是什么东西？向量可以被认为是具有n个相互独立的性质(维度)的对象的表示，矩阵乂是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列(行)向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？特别是，为什么偏偏二维的展开式如此有用？如果矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？*矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践

2、中发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的爭情？难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，这些本质规律是什么？*行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？行列式与其对应方阵本质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式，而一般矩阵就没有(不要觉得这个问题很蠢，如果必要，针对mxn矩阵定义行列式不是做不到的，Z所以不做，是因为没有这个必要，但是为什么没有这个必要)？而且，行列式的计算规则，看上去跟矩阵的任何计算规则都没有直观的联系，为什么又在很多方血决定了矩阵的性

3、质？难道这一切仅是巧合？*矩阵为什么可以分块计算？分块计算这件事情看上去是那么随意，为什么竟是可行的？*对于矩阵转置运算AT,有(AB)T二BTAT,对于矩阵求逆运算A・l,^*(AB)-1=B-lA-lo两个看上去完全没有什么关系的运算，为什么有着类似的性质？这仅仅是巧合吗？*为什么说PJAP得到的矩阵与A矩阵“相似”？这里的“相似”是什么意思？*特征值和特征向量的本质是什么？它们定义就让人很惊讶，因为Ax=Xx,一个诺大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的数入，确实有点奇妙。但何至于用''特征”其至“本征”来界定？它们刻划的究竟是什么？今天先谈谈対线形空间和矩阵的儿个

4、核心概念的理解。首先说说空间(space),这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间屮定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间。总Z,空间有很多种。你要是去看某种空间的数学定义，大致都是“存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间。这未免有点奇怪，为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，其实这是很有道理的。我们一般人最熟悉的空间，毫无

5、疑问就是我们生活在其中的（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里徳空间，我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样-个空间有些什么最慕木的特点。仔细想想我们就会知道，这个三维的空ra：1.山很多（实际上是无穷多个）位置点组成；2.这些点之间存在相对的关系；3.可以在空间中定义长度、角度；4.这个空间对以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的“连续”性的运动，爭实上，不管是什么空I'可，都必须容纳和支持在其屮发生的符合规则的运动（变换）。你会发现，在某种空I'可中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间屮有

6、拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。因此只要知道，“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。下面我们来看看线性空I'可。线性空间的定义任何一本书上都有，但是既然我们承认线性空间是个空间，那么有两个最棊木的问题必须首先得到解决，那就是：1.空间是一个对象集合，线性空间也是空间，所以也是一个对象集合。那么线性空间是什么样的对彖的集合？或者说，线性空间中的对象有什么共同点吗？2.线性空间中的运动如何表述的？也就是，线性变换是如何表示的？我们先来回答第一个问题，回答这个问题的时候其实是不用拐

7、弯抹角的，可以直截了当的给出答案。线性空间中的任何一个对象，通过选取基和处标的办法，都可以表达为向量的形式。通常的向量空间我就不说了，举两个不那么平凡的例子：L1.最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间，也就是说，这个线性空间中的每一个对象是一个多项式。如果我们以xO,xlxn为基，那么任何一个这样的多项式都可以表达为一组n+1维向量，其中的每一个分量ai其实就是多项式中x（i-l）项的系数。值得说明的是，基的选取有多种办法，只要所选取的那一组基线性无关就可以。这要用到后面提到的概念了，所以这里先不说，提