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《极坐标系与极坐标方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、一、坐标系1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数X确定2^平面直角坐标系在平面上，当収定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对(x,y)确定。3、空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直JL交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它便空间上任一点P都可以由惟一的实数对(x,y,z)确定。二、平面直角坐标系的伸缩变换定义：设p(X,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在
2、变换0:r=肚“>0)④的作用下，卜=顾“>0).点P(x,y)对应到点P，(xyO,称©为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。三、例题讲解伸缩变换后的图形。(2)x2+y2=l例1在平血直角处标系中，求卞列方程所对应的图形经过(1)2x+3y=0；三、极坐标系1、极坐标系的建立：在平面上取一个定点0,口点0引一条射线0X,同吋确定一个单位长度和计算角度的匸方向(通常収逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系。(其中0称为极点，射线0X称为极轴。)M2、极坐标系内一点的极坐标的规定匕/对于平面上任意一点M,
3、用p表示线段0M的长度，用0表示从0X到^0..0M的角度，p叫做点M的极径，e叫做点M的极角，有序数对(P，0)就叫Ox做M的极坐标。特别强调：由极径的意义可知p$o；当极角e的取值范围是［0,2龙)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标(p,0)建立一一对应的关系•们约定,极点的极坐标是极径P二0,极角是任意角.3、负极径的规定在极坐标系屮，极径P允许取负值，极角0也可以去任意的正角或负角当p<0时，点M(p,0)位于极角终边的反向延长线上，且OM=
4、p
5、oM(p,0)也可以表示为(/9,0+2Att)或(一p,&+(2鸟
6、+1)龙)(kez)4、数学应用例1写岀下图中各点的极处标A(4,0)B(2)C()D()E()F()G()规定：极点的极坐标是°二0,。可以取任意角。变式训练在极坐标系里描出下列各点ji4/r、冗兀A(3,0)B(6,2兀)C(3,—)D(5,—)E(3,—)F(4,兀)G(6,——)2363例2在极坐标系中，冗7T(1)已知两点P(5,—),Q(l,-h求线段PQ的长度;447T(2)已知M的极坐标为(p，0)且0=—,peR,说明满足上述条件的点M的位置。变式训练1、若ABC的的三个顶点为71(5,—),B(8,
7、—),C(3,—),判断三和形的形状2662、若A、B两点的极坐标为(门厨),(/?2,&2MNAB的长以及AOB的面积。(O为极点)例3已知Q(p,0),分别按下列条件求出点P的极坐标。(1)P是点Q关于极点O的对称点；TT(2)P是点Q关于直线0=-的对称点；2(3)P是点Q关于极轴的对称点。变式训练TT1・在极坐标系中，与点(-&―)关于极点对称的点的一个坐标是()64(8$),〃(8,-芋),C(-8,芋),Q(-8,-?)6666ji52在极坐标系中，如果等边ABC的两个顶点是A(2,—)』(2，一),求第三个
8、顶点C的坐标。44四、极坐标与直角坐标的互化直角坐标系的原点0为极点，兀轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为(x,y)和(°,0),则由三角函数的定义可以得到如下两组公式:X=QCOS0y=Qsin0^22(2p=x+ytan6^=—(xH0)x说明1上述公式即为极坐标与直介坐标的互化公式2通常情况下，将点的直角坐标化为极朋标吋，取°20,0WQW2龙。3化公式的三个前提条件1.极点与肓角坐标系的原点重合；2.极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合；3.两种处标系的单位长度相
9、同.三、数学应用例1(1)把点M的极朋标(8,—)化成直角坐标；(2)把点P的直角坐标(亦,-血)化成极坐标。3变式训练TTTT在极坐标系屮，已知A(2,-),5(2--),求A,B两点的距离66例2若以极点为原点,极轴为兀轴止半轴，建立直角坐标系.5/r(1)已知A的极坐标(4,——),求它的肓角坐标，(2)已知点B和点C的直角坐标为(2,-2)和(0,-15)求它们的极坐标.(p>0,0W0<2兀)变式训练把下列个点的总角处标化为极他标(限定°>0,)A(-1,1),B(0-2),C(3,4),D(-3-4)例3在极坐标
10、系中，已知两点A(6,^),B(6,—).求A,B中点的极坐标.变式训练在极处标系中，己知三点M(2,--),2(2,0),P(2V3,-).判断M,N,P三点是否在一条直线上.五、常用曲线的极坐标方程1、若直线/经过M(p()0))且极轴到此直线的角为求总线/的极处标方程。TT7T变式训
