短幅外摆线滚子链轮齿廓方程的推导

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1、短幅外摆线滚子链轮齿廓方程的推导短幅外摆线滚子链轮齿廓方程的推导摘要：随着传动速度的不断提高，传统的滚子链链轮齿形难以适应于高速、低噪声等条件下的传动，因此，急需研究新型链轮来提高滚子链机构的传动性能。短幅外摆线是当发生圆沿基圆作外切纯滚动时，发生圆内某一点所形成的轨迹，由于短幅外摆线无奇异点、与基圆并无交点且过渡光滑，因此选用短幅外摆线作为新型滚子链轮的齿形。首先根据其形成机理推导出短幅外摆线的方程，最后利用法线向量求等距曲线的方法，得到了短幅外摆线链轮齿廓方程。关键词：短幅外摆线；滚子链；链轮齿廓滚子链传动是一种重要的机械基础件，广泛应用于汽车发动机、石油化工、

2、自动流水线等机械上，然而由于受链轮多边形效应的影响,链传动缺乏平稳性,瞬时传动比不恒定，导致链传动易磨损、易胶合、冲击和噪声大，甚至会发生早期的断裂失效。随着现代机械行业传动速度的不断提高，传统的滚子链链轮齿形已难以适应于高速、低噪声等条件下的传动，因此，急需研究新型链轮来提高滚子链机构的传动性能。本文将以短幅外摆线作为链轮工作段齿廓，推导其理论方程。一、短幅外摆线方程推导平面上，一个动圆（发生圆）沿一个固定的圆（基圆）的外侧,作外切或内切滚动时，与动圆固连的一点所形成的轨迹称为外摆线（该点在发生圆上），或长幅外摆线（该点与基圆圆心位于发生圆的同侧），或短幅外摆线（

3、该点与基圆圆心位于发生圆的异侧）。图1中曲线C1、C2和C3分别是外摆线、长幅外摆线和短幅外摆线。广义外摆线是这三种曲线的总称。图1广义外摆线图1中，Cb为基圆，C为动圆（发生圆）。由图可知，当发生圆C沿基圆作外切纯滚动（基圆圆心位于发生圆的外侧）时，广义外摆线的方程是：R二R二■+■二(r«+r)■■■-&■-(w+e)・(1)二(r«+r)■■■-&■-e(1+B)■式中©动圆转过的角度(rad)；■■——旋转矩阵，■■二cos6-sinOOsinecos0001；■―一单位方向矩阵，■二010；rb基圆半径(mm)；r发生圆半径(mni)；a动点到发生圆圆心的

4、距离(mm)。V动点在发生圆上转过的角度(rad)0式(1)屮a二ca>r和a〈r分别对应于外摆线、长幅外摆线和短幅外摆线。由于木文采用短幅外摆线作为链轮齿廓曲线，所以选取a)y(4>)=(rb+r)sin4>-asin4)(1+B)(rb+r)cosd-cosd(l+・)(4)式(4)即为动圆(发生圆)在绕一个固定的圆(基圆)做纯滚动时，

5、与动圆固连的一点所形成短幅外摆线轨迹方程。二、法线向量法求等距曲线新型链轮的齿廓曲线即为短幅外摆线的等距曲线。等距曲线是指已知一条曲线L,让L上每一点沿在这点的法线的一定方向移动一段距离h得到新的点，这些新的点的轨迹L1就是L的等距曲线。下面采用一种常见的方法求等距曲线。如图2所示，是一条已知曲线，P是曲线上任一点，PP1是L在P点的某一法线方向，并且它的长度为h,当P点在L上移动吋,P1点也组成一条新曲线LI,L1就是L的等距曲线。由于PP1的反方向也是L在P点的法线方向，即PP2二-PP1,所以P2点的轨迹也是L的等距曲线，即在某一距离上有两条等距曲线。设曲线的

6、方程为:L二x二x(t)y二y(t)(5)图2求解等距曲线要求的等距曲线，由图2可知：■=■+■(6)其中■=(x(t),y(t)),如果能求出■，则■就完全确定下來了，它的坐标也就是P1点的坐标，于是可以得到L1的参数方程。所以关键在于求向量■,已知所以关键是求■的方向，即L在P点的一个法线方向。对于y二f(x)表示的曲线，它的单位切向量为：t0二・，■(7)单位法向量为：HO二土■,±«(8)在式(8)中，双重符号表示法线的两个方向。根据式(5),即曲线的参数方程，我们利用求导法则可以得到:ff(x)=■=■=■(9)将式(9)代入式(7)和式(8)中分别可得：

7、t0二■■(10)n1二“(11)以及：n2=BB(12)在木文中，取n1所在的法线方向，因此将式(11)代入式(6)中可得：■=・+h■1(13)三、链轮齿廓方程的推导根据式(5厂(13),可以推导短幅外摆线的等距曲线，即新型链轮的齿廓方程。根据式(4)可得：x‘(d)y'(©)=(rb+r)cos4)-aBcos[4)(!_+■)]-(rb+r)sin4)+aBsin[