数学物理方程2008-2009第二学期试题(b)答案

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1、2008-2009学年第二学期《偏微分方程》期末试题（B）•填空题（每小题6分，共30分）1现有一长度为/的均匀细杆，杆的兀=0端保持恒温厶，兀=/端为绝热（即热流为零），杆的初始温度分布为型也,则杆上热传导的定解问题为（2du7d2udtdx^i4/一兀）«U=To,乎dx)o=0.x=l2现有一长度为/的均匀细弦，弦的兀=0端固定，兀=/端自由，弦的初始位移为x2-2/x,初始速度是零，那么弦的位移函数ux.t）所满足的定解问题是)o32W2几—r=00drdx0,半ox.r=O=0x=

2、l=x^-2lx—，dt=0r=0常用三类边界条件的统一表达式是（时，称为齐次边界条件。函数/（兀）的Foa伽变换公式是（），当（常数C的Laplace变换的像厶（C）二（力反变换公式是（)o)o二解答下列各题（每题5分，共10分）1利用Bessel函数的递推公式人_心）+血+心）=一人（劝，将厶⑴用人⑴及x丿］（兀）表示出来。妇⑴=处也一川*）=8经卫一也回一丿心）=（2-1"心）一纺＜©）xXX"X2将/（cos&）=3cos20+l在0505龙上展开成勒让德（Legendre）多项式系Pn(cos0)

3、(h=0,1,2,...)的级数。3乂2_11[已知£)(x)=l,£(x)=x,p2(x)=^—f^(x)=-(5x3-3x)]o6cos2&一2=4马(cos0)三求解下列定解问题（2（）分）d2U2£/c7=at-v+To(00),dfA=0=°9UX=1=A(/>0)'dudtdt2u/=（）=0(0

4、)+/,=0,w

5、『o,wA-/A.这是一个二阶常系数线性非齐次常微分方程的边值问题，它的解可以通过两次积分求得：W(x)厶F+la2{2a1求出函数W(x)之后，可知函数V(x,r)满足下列定解问题a2v2d2vW=aa7(Ovxv/,f>0),V仁=4=/=°(『〉°)，

6、再由初始位移条件，得-W(x)=£c“sinn=ri7i'JU*I?n=lI由Fourier级数的系数公式可得加+小•n7Ufxsin——xdx2A2丿n兀./xdx—2x2sinoxsino12訐7J+ACOSYlTl.因此，原定解问题的解为兀+%n=lcosn/r.Ixdx（*）nTta.n兀/sin——x,其中C〃由式（*）确定.四蛍原子定态问题的量子力学Schrodinger（薛定谭）方程是h28龙2“V2u-—u=Eu其中人“，Z,匕E都是常数。试在球坐标系下把这个方程分离变量，即得到各个单变量

7、函数所满足的常微分方程。（20分）z,亠z小丄一才I「21。，2du、1°,•八du、1d2u、（已知在球坐标系屮V^w=——（rp）+°・dP（sm&P）+）・r「）广drdr广sin030广sin3h29解；先令A=B=Ze2,贝1JSchrodinger方程可以简单写为.BH—u+Eu=0由laplace算符在球坐标下的表达式，则在球坐标下，Schrodinger方程的表达式为xr13z2。"、1dz.zix1d2wnnu-c川7亦厂；+忑丽丽伽&丽)+7^而帝1+作+Ex°令i心，比（p）=R（r）

8、Y3,（p）,代入上式得AYd’dR、ARdzARd2YBn2'(厂」+2•Q"(sm&m)+2•2“2+(+E)RF=Ordrdr厂sm&d&dOrsin^0u(p^rr2两边分别乘以——,得1d~R~d^ARY-)+—(-+£)=———?(sin&?)—JdrArYsin&d&()0Ysirr&要使上式成立，则必有两边等于同一个常数，记为/(/+1),从而f(厂2竽)+［务+Er1-KI+i)］R=0drdrA丄卩晋)+［字(空+斫仲］zrdrdrhrr至丁・丫则满足球函数方程(2)(sin0?)+〔［

9、丫+位+1厅=0sin&d&30siir&球函数方程(2)的可以进一步分离变，令丫(&4)=€)(&)①(0)代入(2),则得①满足①n+m2O=0(3)€)满足缔合勒让徳方程“d2Q小dQrfzf,、nt1“八,、(1Q)2x+卩(/+1)J©=0⑷dO^d&l—jr其中兀二二COS&・五1试利用变换v(x,r)=e~tlu{x,t)将有阻尼的波动方程vtt-crv^+2門+e2v=0(一8vx<00)化成标准