数学物理方程2009-2010第二学期试题(B)答案

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1、2009-2010学年第二学期《偏微分方程》期末试题（B）一填空题（每小题6分，共30分）1现有一长度为的均匀细弦，弦的端作简谐运动，端自由，弦的初始位移和初始速度是零，那么弦的位移函数所满足的定解问题是（）。2设有半径为b的薄圆盘，其侧面绝热，若圆盘边界上的温度恒保持为零度，初始温度分布为，试在极坐标系中写出圆盘内瞬时温度分布满足的定解问题。3以杆的端点为例，写出第一、第二、第三类齐次边界条件的表达式：（）。答：（每式2分）4方程在Fourier变换下的像空间中变成（），它是（）方程。5问题在Laplace变换下的像空间中变成

2、（），其中A和B为常数。二证明题（每题10分，共20分）1已知，证明证明：2证明在变换之下，方程变成。证明因为将以上结果代入到原方程即得。三、求解下列定解问题：（20分）解令,（2分）代入方程可得，（1）（2分）（2）（2分）由边界条件得，（3）解由（1）、（3）构成的本征值问题得本征值为，（2分）本征函数为，（2分）再将本征值代入（2），并求解，得，（2分）因此，由初始条件得（2分）再由，得于是（4分）因此（2分）四、求解定解问题（5分）解此处由d’Alembert公式有写出达朗贝尔公式给2分。四、求解定解问题（25分）已知，

3、解令，代入到方程，得（3分）两边除以，得（2分）由此得（1）（2分）（2）（2分）（1）的解是（2分）而（2）是零阶Bessel方程，其通解是（2分）由，取D=0（1分）由（推得），得，所以得，其中表示的第n个零点。于是得本征值和本征函数分别是，（2分）（2分）从而问题的一般解可以表示为（3分）由初始条件得，（3分）最后得问题的解为。（1分）