数学实验报告——利用maltab计算插值与数值积分

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1、实验一插值与数值积分一、差值㈠问题描述选择一些函数，在n个节点上用拉格朗日、分段线性、三次样条三种差值方法，计算m个插值点的函数值，通过函数和图形输出，将三种插值结果与精确值进行比较，适当增加n再作比较，由此作初步分析。㈡方法与公式1、拉格朗日插值法2、分段线性插值法3、三次样条插值法18㈢结果与分析1、函数y=(1-x2)12,0≤x≤1;(1)5节点，100插值点由图可以看出，三种差值方法中，拉格朗日插值法所得结果与真实值最接近，其次是三次样条插值法，最后是分段线性插值法。dif1=0.0043;dif2=0.0196;dif3=0.0058。dif表

2、示每种插值方法得到的插值点与实际值的差方均。（即每个插值点与实际值之差的平方的和的平均值）。由此页可以看出，拉格朗日插值法所得结果与真实值最接近，其次是三次样条插值法，最后是分段线性插值法。(2)7节点，100插值点18可以发现，通过增加节点，每一种插值法的结果都比原来更加接近真实值。dif1=0.0015;dif2=0.0082;dif3=0.0027;(3)10节点，100插值点结果进一步逼近真实值。dif1=0.00062;dif2=0.0035;dif3=0.0012;(4)简要小结a.增加节点可以有效地提高插值结果的准确度。b.在本函数下，拉人格

3、朗日插值法的效果与三次样条插值法的效果相近，两者都好于分段线性插值法。(5)对比18对比了自己编写的分段线性插值和matlab自带的分段线性插值函数。发现两者基本一致，区别无法从图中读出。dif1=dif2=0.0121。误差相等。2、其它函数为了更好地对比各种插值法的优劣，仅用一种函数作测试是不够的，这里将书中提供的另外三个函数训练，结果如下：(1)y=sinx,0≤x≤2π6节点，100插值点此种情况与上一函数所示结果相近：拉格朗日插值法与三次样条插值法效果相近，两者优于分段线性插值法。（实验过程中发现，若节点为5，则拉格朗日插值法与三次样条插值法所得

4、结果一致）。(2)y=cos10x,-2≤x≤2186节点，100插值点10节点，100插值点时观察到了比较明显的Runge现象。(3)y=e-x2,-2≤x≤26节点，100插值点1810节点，100插值点3、总结由以上各个对比可以得出以下结论：a.拉格朗日插值法的结果与三次样条插值法的结果在许多情况下比较相像；b.除非节点取得足够多，分段线性插值法的精度才能有所保障；c.对一些有峰值的函数，是否取峰值点为节点对结果的影响非常大；d.拉格朗日插值法在个别函数中会出现Runge现象，但并不是所有类似钟形的函数中都会出现，最后一个函数说明了这一点；e.在拉格

5、朗日插值法可能出现Runge现象的情况中，三次样条插值法和分段线性插值法的效果要好于拉格朗日插值法。18㈣程序清单1、拉格朗日插值法functiony=lagr(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);s=0;fork=1:np=1;forj=1:nifj~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end2、分段线性插值法functiony=myInterp(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);fo

6、ri=1:mforj=1:nifx(i)

7、ine');y4=interp1(x0,y0,x);dif1=0;dif2=0;dif3=0;dif4=0;fori=1:length(x)dif1=dif1+(y(i)-y1(i))^2;dif2=dif2+(y(i)-y2(i))^2;dif3=dif3+(y(i)-y3(i))^2;dif4=dif4+(y(i)-y4(i))^2;enddif1=dif1/length(x);dif2=dif2/length(x);dif3=dif3/length(x);dif4=dif4/length(x);plot(x,y,'k',x,y1,'r',x,y2,'

8、b',x,y3,'g');legend('ʵ¼ÊÖµ','lar