人教数学必修二第三章公式及证明

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1、3.3.2两点间的距离①公式②.公式证明OyABx3.3.3点到直线的距离①.公式内容②.推导方法一、定义法证：根据定义，点P到直线的距离是点P到直线的垂线段的长，如图1，设点P到直线的垂线为，垂足为Q，由可知的斜率为的方程：与联立方程组解得交点二、函数法证：点P到直线上任意一点的距离的最小值就是点P到直线的距离。在上取任意点用两点的距离公式有，为了利用条件上式变形一下，配凑系数处理得：当且仅当时取等号所以最小值就是三、不等式法证：点P到直线上任意一点Q的距离的最小值就是点P到直线的距离。由柯西不等式：当且仅当时取等号所以最小值就是四、转化法证：设直线的倾斜角

2、为过点P作PM∥轴交于M显然所以易得∠MPQ＝（图2）或∠MPQ＝（图3）在两种情况下都有所以五、三角形法证：P作PM∥轴交于M，过点P作PN∥轴交于N（图4）由解法三知；同理得在Rt△MPN中，PQ是斜边上的高六、参数方程法证：过点作直线交直线于点Q。(如图1)由直线参数方程的几何意义知，将代入得整理后得当时，我们讨论与的倾斜角的关系：当为锐角时（）有（图2）图五当为钝角时（）有（图3）得到的结果和上述形式相同，将此结果代入①得七、向量法证：如图五，设直线的一个法向量，Q直线上任意一点，则。从而点P到直线的距离为：附：方案一：设点P到直线的垂线段为PQ，垂足

3、为Q，由PQ⊥可知，直线PQ的斜率为（A≠0），根据点斜式写出直线PQ的方程，并由与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线的距离为d方案二：设A≠0，B≠0，这时与轴、轴都相交，过点P作轴的平行线，交于点；作轴的平行线，交于点，由得.所以，｜PＲ｜＝｜｜＝｜PS｜＝｜｜＝｜ＲS｜＝×｜｜由三角形面积公式可知：·｜ＲS｜＝｜PＲ｜·｜PS｜所以可证明，当A=0时仍适用3.3.4两条平行直线间的距离①公式d=

4、C2-C1

5、/√(A²+B²)②公式推导设平行直线为L1：Ax+By+C1=0,L2:Ax+By+C2=0利用平行直线距

6、离的定义，等于一条直线上任意一点到另一条直线的距离设P(x0,y0)是Ax+By+C1=0上的点∴Ax0+By0+C1=0即Ax0+By0=-C1∴平行直线距离=P到直线L2的距离=

7、Ax+By+C2

8、/√(A²+B²)=

9、C2-C1

10、/√(A²+B²)即平行直线间距离公式是d=

11、C2-C1

12、/√(A²+B²)