中学数学中证明的教育价值

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1、中学数学中证明的教育价值-----数学教育热点问题系列访谈之三*访谈之一见本刊2004年第9期；访谈之二见本刊2005年第6期。作者简介：史宁中，博士，东北师范大学校长，教授，统计学博士生导师、数学课程与教学论博士生导师，国务院学科评议组成员，国家自然科学基金评委会成员，中国教育学会副会长，全国中小学数学教材审查委员（中学数学教材主审委员）；郭民（1972--），东北师大数学与统计学院副教授，博士。史宁中，郭民（东北师范大学，吉林长春130024）摘要：几何证明在本质上是一种方法论，学生学习欧氏几何、经过这种论证方法的训练，其作用不限于几何学、甚至不限于数学，对于学生学习其他学科，对于学

2、生未来走向社会都是很有益处的，这便是教育价值所在。数学教学必须尊重学生身心发展的规律，有关逻辑推理的数学教学不能出现的太早，因为逻辑推理是基于概念和符号的，而对于孩子来说，建立概念、特别是抽象的概念是很困难的。小学阶段主要是认同；初中阶段可以逐渐建立概念、以及在此基础上的逻辑推理，但必须有物理背景；到了高中，才可以逐步渗透形式化的概念、以及在此基础上的逻辑推理。过分强调演绎逻辑的数学教学，是不利于创新人才培养的。归纳推理有利于发现新的命题，是培养创新性人才所必需的。关键词：数学证明；欧氏几何；几何原本；演绎推理；归纳推理；教育价值；方法论当前数学教育界讨论的一个热门话题就是如何具体处理中

3、学几何课程问题，争论的焦点之一是如何看待平面几何中逻辑推理(数学证明)的教育价值。数学证明的含义是什么？数学证明的教学观念发生了怎样的变化？应当怎样理解数学证明的教育价值？带着这些问题，我们进行了较长时间的专题访谈和深入研讨。访谈对象：史宁中教授（以下简称史教授）。访谈形式：专题访谈，多人参加讨论班式的访谈；辅以资料查询。▼话题1问：对于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》，一些数学家提出平面几何的内容还是必要的，并且指出，其不必要性并不在于知识本身，而在于平面几何的数学证明能够培养学生的逻辑推理能力，您怎样看待这些数学家的观点？▲史教授：我想，他们的提法是有道理的。这里所说的平面几

4、何主要是指欧氏（欧几里得）几何，它曾经是中学（甚至包括高中）数学教学的主要内容。随着社会的发展，就知识本身来说，欧氏几何的教育价值已经不大了。因此有些国家，比如美国，虽然保留了几何的名称，但已经不是欧氏几何的内容了。我曾查阅了有关资料，希望了解美国是如何通过其他知识的传授，让学生掌握类似欧氏几何那样系统证明的思想的，很可惜，没有找到，虽然他们谈到了这样的思想：“他们（指学生）应当能用直接证明的方法确定一个假设的真假与否。这样的推理一直是欧氏几何的核心，但也应当把它应用于其他所有的数学领域。”6事实上，我在那些资料中只找到了个案的证明方法，但那不是欧氏几何证明方法的本质。▼话题2问：您认为

5、欧氏几何证明的本质是什么呢？在义务教育阶段欧氏几何又有什么教育价值呢？▲史教授：这是一个非常难以回答的问题。人们通常把平面几何证明与欧氏几何证明等同看待。虽然人们知道，早在欧几里得之前，泰勒斯、柏拉图、毕达哥拉斯等人就研究平面几何，并且得到许多重要结果，但是人们仍然认定几何证明（因而数学证明）渊源于欧几里得，这就涉及到欧氏几何证明的本质。我想，欧氏几何证明的本质有两条：一个是给出了证明的出发点，即公理、公设和定义；一个是给出了证明的方法，即演绎法或三段论。欧几里得从5条公理和5个公设出发得到467个定理。这样，欧氏几何就形成了一个体系，这个体系被后人称为公理化体系。事实上，欧氏几何的论证

6、方法派生于古希腊的思辨风尚。古希腊的哲学思想十分活跃，哲学家们热中于辩论，罗素在他的《西方哲学史》中很生动地描写了苏格拉底的辩论。亚里士多德总结了人们辩论的经验，认为在进行论理之前，必须建立起禁得起推敲的、得到大家认可的规则，他说：“推理是一种论证，其中有些被设为前提，另外的判断则必然地由它们发生。当推理由以出发的前提是真实的和原始的时，或者当我们对于它们的最初知识是来自于某些原始的和真实的前提时，这种推理就是证明。”这已经很清晰地表明了公理化体系的本质。另一方面，论证的形式也被亚里士多德确定下来了，其核心就是三段论,就是人们常说的，大前提、小前提和结论。我们分析一下三段论，就能够看到欧

7、氏几何证明的根基。三段论包括四个格,最为本质的是第一格。第一格有下面四种形式:全称肯定形:凡人都有死,苏格拉底是人,所以苏格拉底有死。全称否定、全称肯定、全称否定形:没有一条鱼是有理性的,所有的鲨鱼是鱼,所以没有一条鲨鱼是有理性的。全称肯定、特称肯定、特称肯定形:凡人都有理性,有些动物是人,所以有些动物是有理性的。全称否定、特称肯定、特称否定形:没有一个希腊人是黑色的,有些人是希腊人,所以有些人不是黑色的。我之所以谈这些，是希望在更