第四章 简单桁架弹塑性分析

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1、第四章简单桁架的弹塑性分析§4．1理想弹塑性材料的简单桁架图4.1图4.1（a）所示为由AB，AC，AD三杆组成的简单桁架，在结点A上受有竖向力P，各杆截面积均为A，②杆长度为l，则①③杠长度为l1=。用N1、N2、N3表示诸杆内力，则平衡方程为：N1=N3。。N1cosθ+N2+N3cosθ=P，消去N3，并用截面积A通除各项，得以应力表示的平衡方程为：2σ1cosθ+σ2=（4—1）又由几何关系（由对称性可知结点A只有竖向位移δy而移至点）可知δy=ε2l=，故有谐调方程ε1=ε2cos2θ（

2、4—2）下面根据加载的不同阶段列出应力—应变关系，问题即可求解。当P从零开始增长时，起始是弹性阶段。（1）弹性阶段：应力—应变关系为：8（4—3）代入（4—2）式得到以应力表示的谐调方程为：σ1=σ2cos2θ（4—4）联立（4—1）（4—4）解得：（4—5）当P较小时，各杆处于弹性阶段，由（4—5）式可见，②杆应力大于①③杆应力，因此当σ=σs时桁架将开始进入塑性状态。由（4—5）式可得此时对应的P值为：P=Pe=σsA(1+2cos3θ)(4—6)此Pe即为桁架能承受的最大弹性荷载，称为弹性极

3、限荷载。于是（4—5）式可写为：（4—）此时对应的A点竖向位移为：δe=ε2l=（4—7）这里，δe表示与弹性极限荷载相对应的结点A的竖向位移。（2）P＞Pe，弹塑性阶段：这时（4—3）式中的第一式仍然成立，但第二式应换为：以（4—8）式代入（4—1）式得：（4—9）应当注意，这时虽然②杆屈服了，可以产生很大的变形，但由于它必须和①③杆的变形相谐调，而①③杆这时尚未屈服，所以②杆的变形受到限制。在这种情况下就说桁架处在有限制塑性变形阶段，或称为约束塑性变形阶段。随着P的进一步增大，②杆应力已不能增

4、长，增加的外载必须由①③杆来平衡，所以①③杆的应力增长较弹性阶段快，桁架的变形增长也比弹性阶段快。当P增加到一定程度，达到σ1=σ3=σs时，三杆全部进入塑性（由于对称，①、③杆一定同时进入塑性），变形不再受约束，成为无限制塑性变形，桁架就失去进一步承载的能力，这时的荷载称为塑性极限荷载，以PT表示。在（4—1）式中以σ1=σs，σ2=σs代入得：PT=σsA(1+2cosθ)（4—10）这时结点A的位移δT只能利用几何关系由①③杆的伸长求解，而不能用②杆的伸长求解，因为这时①③杆刚达到屈服，虎克

5、定律仍能应用，而②杆则早已屈服（当P=Pe时，②杆就已屈服），所以，当P=PT时，②杆的伸长无法由虎克定律求得。（4—11）比较弹性极限载荷与塑性极限载荷得（4—12）当θ=30°时，=1.33，=1.19，θ=45°时，=2，=1.41。这说明考虑塑性对承载能力可以有不小的提高，而变形仍和弹性变形在同一量级。桁架的载荷—挠度曲线入图4.2中的实线所示。8（3）卸载：若加载到P*值（Ps＜P*＜PT）后卸载，卸载按弹性规律，各杆内应力变化可按（4—5）式或（4—）式计算，若载荷变化为，则各杆的应力

6、变化为：（4—13）又有：（4—14）若将P*全部卸除，则应对加载到P*时的应力（对应（4—8）式及（4—9）式）减去=P*的卸载应力值（即（4—13）式中以P*代入），即得残余应力及残余应变为：（4—15）注意，②杆内残余应力为压应力，而残余应变为伸长。（4）重复加载若在卸载以后再重新加载，既然从P*卸载到零是弹性变形过程，从零再加到P*也仍是弹性过程，这是因为②杆现在是从某个压应力开始，它的弹性范围是这个压应力的绝对值加上σs，扩大了，从而使得桁架的弹性范围也扩大了（注意：桁架的塑性极限荷载在

7、理想塑性材料的情形是不能扩大的）。如将桁架加载到PT后卸载，则以后的弹性范围可以扩大到PT。在结构内部产生某种有利的残余应力状态，可以提高它的弹性范围，这种状态8称为安定状态（shakedownstate)，在超静定结构中常加以利用。由于②杆在卸载后为压应力，于是产生了会不会进入压缩的塑性状态的问题。如果考虑随动强化的情形（即考虑Bauschinger效应），可以认为弹性范围为2σs（即认为受拉屈服到受压屈服的距离保持为2σs），则由（4—13）式中较大的不应超过2σs可得：即P*≤2Pe（4—1

8、6）必须满足（4—16）式方能保证卸载后②杆不致进入受压屈服，若P*≥2Pe，，则卸载后②杆将受压屈服。若再反复加载卸载，②杆将重复经受拉伸与压缩的塑性变形，很快就会破坏。于是2Pe也是这种情形下的最大安定荷载的范围。，现在再来看一下图4.1（b）所示的桁架。平衡方程式为：（4—17）由于结构是对称的，荷载是反对称的，故知结点A只有水平位移δx而移至点。故有几何关系即有（4—18）在弹性阶段有物理关系：（4—19）代入（4—18）式得：（4—20）这时，（4—17）式第一式自然满足