专题01 直角三角形的存在性问题-玩转压轴题，争取满分之备战2019年中考数学解答题高端精品（原卷版）

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1、【考题研究】这类问题主要是已知直角三角形的一边（即直角三角形的两个点确定），求解第三点。这类问题主要是和动点问题结合在一起，主要在于考查学生的探寻能力和分类研究的推理能力，也是近几年来各市地对学生能力提高方面的一个考查。【解题攻略】解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可

2、以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．【解题类型及其思路】当直角三角形存在时可从三个角度进行分析研究：（1）当动点在直线上运动时，常用的方法是①，②三角形相似，③勾股定理；（2）当动点在曲线上运动时，情况分类如下，第一当已知点处作直角的方法①，②三角形相似，③勾股定理；第二是当动点处作直角的方法：寻找特殊角【典例指引】类型一【确定三角形的形状】典例

3、指引1．1．如图，动直线y＝kx+2（k＞0）与y轴交于点F，与抛物线y＝相交于A，B两点，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为点C，D，连接CF，DF，请你判断△CDF的形状，并说明理由．【答案】△CFD是直角三角形．见解析。【解析】【分析】先列方程：x2+1＝kx+2，解出可得点A、B的横坐标，可得DC、CF、DF的平方，根据勾股定理的逆定理可得结论：∠CFD=90°．【详解】x2+1＝kx+2，x2﹣kx﹣1＝0，x＝2k±2，∴x1＝2k﹣2，x2＝2k+2，∴OD＝2k+2，OC＝2﹣2k，DC2＝（2k+2+2﹣2k）2＝16（k2+1），CF2＝22+（2﹣

4、2k）2＝8k2﹣8k+8，DF2＝22+（2k+2）2＝8k2+8k+8，∴DC2＝CF2+DF2，∴∠CFD＝90°，故△CFD是直角三角形．【名师点睛】本题考查了二次函数函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质、勾股定理及其逆定理；会解一元高次方程．【举一反三】已知：直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=x2+bx+c经过点A、B，且交x轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上一点，且点P在AB的下方，设点P的横坐标为m．①试求当m为何值时，△PAB的面积最大；②当△PAB的面积最大时，过点P作x轴的垂线PD，垂足为点D，问在直线PD上否存

5、在点Q，使△QBC为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的Q的坐标若不存在，请说明理由．类型二【确定点的坐标】典例指引2．已知，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是以AC为直角边的直角三角形时，求点M的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）当△MAC是直角三角形时，点M的坐标为（1，）或（1，﹣）．【解析】【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设点M的坐标为（1，m），则CM=，AC=，AM=，分∠ACM=90°和∠CAM=90°两种

6、情况，利用勾股定理可得出关于m的方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标．【详解】（1）将A（﹣1，0）、C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，设点M的坐标为（1，m），则CM=，AC==，AM=．分两种情况考虑：①当∠ACM=90°时，有AM2=AC2+CM2，即4+m2=10+1+（m﹣3）2，解得：m=，∴点M的坐标为（1，）；②当∠CAM=90°时，有CM2=AM2+AC2，即1+（m﹣3）2=4+m2+10，解得：m=﹣，∴点M的坐标为（1，﹣）．综上所

7、述：当△MAC是直角三角形时，点M的坐标为（1，）或（1，﹣）．【名师点睛】本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的点的坐标特征以及勾股定理等知识点．会运用分类讨论的思想和数形结合的思想解决数学问题．【举一反三】如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别相交于点B，C，经过B，C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）请问在抛物线上是否存在点Q，使得以点B，C，Q为顶点的三角形为直角三角形？若