专题04 几何最值存在性问题-玩转压轴题，争取满分之备战2019年中考数学解答题高端精品（解析版）

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1、【考题研究】在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。从历年的中考数学压轴题型分析来看，经常会考查到距离或者两条线段和差最值得问题，并且这部分题目在中考中失分率很高，应该引起我们的重视。几何最值问题再教材中虽然没有进行专题讲解，到却给了我们很多解题模型，因此在专题复习时进行压轴训练是必要的。学科#网【解题攻略】最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归归于几何模型：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两

2、线段之和的最小值”时，大都应用这一模型．（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型． 两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，PA与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P′．解决线段和差的

3、最值问题，有时候求函数的最值更方便，建立一次函数或者二次函数求解最值问题．【解题类型及其思路】解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。【典例指引】类型一【确定线段（或线段的和，差）的最值或确定点的坐标】典例指引1．1．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x+1）2+4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．（1）写出抛物线顶点D的坐标　　；（2）点D1是点D关于y轴的对称点，判断点D

4、1是否在直线AC上，并说明理由；（3）若点E是抛物线上的点，且在直线AC的上方，过点E作EF⊥x轴交线段AC于点F，求线段EF的最大值．【答案】(1)（﹣1，4）；(2)见解析;(3)2.25.【解析】【分析】（1）根据二次函数的解析式直接写出即可；（2）先根据二次函数求出A、C的坐标，再用待定系数法确定直线AC的关系式，再求出点D1，把它代入直线判断是否再直线上；（3）设点E（x，﹣x2﹣2x+3），F（x，x+3），则EF＝（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+1.5）2+2.25，则可知x=-1.5时，EF的最大值2.25.【详

5、解】（2）点D1在直线AC上，理由如下：∵抛物线y＝﹣（x+1）2+4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，∴当y＝0时，﹣（x+1）2+4＝0，解得x＝1或﹣3，A（﹣3，0），B（1，0），当x＝0时，y＝﹣1+4＝3，C（0，3）．设直线AC的解析式为y＝kx+b，由题意得，解得，∴直线AC的解析式为y＝x+3．∵点D1是点D关于y轴的对称点，D（﹣1，4）．∴D1（1，4），∵x＝1时，y＝1+3＝4，∴点D1在直线AC上；【点睛】此题主要考察二次函数的图像，根据题意求出与坐标轴的交点是解题的关键.【举一反三】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴

6、交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点．对称轴为直线，点在抛物线上．（1）求直线的解析式；（2）为直线下方抛物线上的一点，连接、．当的面积最大时，在直线上取一点，过作轴的垂线，垂足为点，连接、．若时，求的值；（3）将抛物线沿轴正方向平移得到新抛物线，经过原点．与轴的另一个交点为．设是抛物线上任意一点，点在直线上，能否成为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若能，直接写出点的坐标．若不能，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）能．，，，【解析】【分析】（1）求出C、D两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；（2）求出抛物线与轴交点、两点的坐标，设，则，根据

7、二次函数的性质求出E的坐标，可得当时，最大，因为关于直线的对称点为，的垂直平分线交直线于点，过作轴的垂线，由勾股定理得，即可解决问题；学&科网（3）存在．如图2中．作P1M⊥x轴于M，P1N⊥对称轴l于N．对称轴l交OA于K，由△P1MF≌△P1NQ，推出P1M=P1N，推出点P在∠MKN的角平分线上，只要求出直线KP1的解析式，构建方程组即可解决问题，同法可求P3，P4．【详解】解：（1）∵当时，，∴．又∵在抛物线上，∴，学科*网∴．设的解析式为．∴解得：∴的解析式为．此时，，，．在中，由勾股定理得：．又∵直线与轴间的距离为1，∴．（3）能．，，，类

8、型二【确定三角形、四边形的周长的最值或符合条件的点的坐标】典例指引2．如图，抛物线y＝﹣x2﹣