专题03 相似三角形的存在性问题-玩转压轴题，争取满分之备战2019年中考数学解答题高端精品（解析版）

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1、【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．学科#网【解题攻略】相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应

2、用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．【解题类型及其思路】相似三角形存在性问题需要注意的问题：1、若题目中问题为△ABC∽△DEF，则对应线段已经确定。2、若题目中为△ABC与△DEF相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC∽△DEF,②△ABC∽△FDE、③△ABC∽△EFD、3、若题目中为△ABC与△DEF并且有∠A、∠D（或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC∽△DEF，②、△ABC∽△DFE需要分类讨论上述的各种情况。【典例指引】类型一【确定符合相似三角形的点的坐标】典例指引1．（2018青海中考）如图，抛物线与

3、坐标轴交点分别为，，，作直线BC．求抛物线的解析式；点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作轴于点D，设点P的横坐标为，求的面积S与t的函数关系式；条件同，若与相似，求点P的坐标．【答案】（1）；（2）；（3）点P的坐标为或【解析】【分析】把，，代入，利用待定系数法进行求解即可得；设点P的坐标为，则，然后由点A和点B的坐标可得到，接下来，依据三角形的面积公式求解即可；当∽时，；当∽，则，然后依据比例关系列出关于t的方程求解即可．【详解】设点P的坐标为，，，，学科*网；【名师点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法、相似三角形的性质、三角形面积公式等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握

4、待定系数法、相似三角形的性质是解题的关键.【举一反三】（2018绵阳中考）如图，已知抛物线过点A(,-3)和B(3,0)，过点A作直线AC//x轴，交y轴与点C.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D，连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）P点坐标为（4,6）或（,-）；（3）Q点坐标（3，0）或（-2，15）【解析】【分析】（1）把A与B坐标代入抛物线解析式求出a与b的值，即可确定出解析式；（2）设P坐

5、标为，表示出AD与PD，由相似分两种情况得比例求出x的值，即可确定出P坐标；（3）存在，求出已知三角形AOC边OA上的高h，过O作OM⊥OA，截取OM=h,与y轴交于点N，分别确定出M与N坐标，利用待定系数法求出直线MN解析式，与抛物线解析式联立求出Q坐标即可．【详解】（2）当在直线上方时，设坐标为，则有，，[来源:学科网]当时，，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此时，；当时，，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此时，；当点时，也满足；当在直线下方时，同理可得：的坐标为，，综上，的坐标为，或，或，或；（3）在中，，，根据勾股定理得：，，，学&科网，边上的高为，过作，截取，

6、过作，交轴于点，如图所示：解得：或，即，或，，则抛物线上存在点，使得，此时点的坐标为，或，．类型二【确定符合相似三角形的动点的运动时间或路程等】典例指引2．（2017年广东省深圳市模拟）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线经过O，D，C三点.(1)求AD的长及抛物线的解析式；(2)一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间

7、为t秒，当t为何值时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ADE相似？(3)点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.【解析】试题分析：（1）根据折叠图形的轴对称性，△CED、△CBD全等，首先在Rt△CEO中求出OE的长，进而可得到AE的长；在Rt△AED中，AD=AB-BD、ED=BD，利用勾股定理可求出A