直线圆锥曲线

《直线圆锥曲线》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、9.8直线与圆锥曲线(51)教学目标重点：能够把直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题；能够熟练运用函数与方程思想、数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想解题.难点：充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化.能力点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法.教育点：能够正确熟练的解决直线与圆锥曲线的位置关系的一些问题.自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻.易错点：在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.学法与教具1.学法：讲授法、讨论法.2

2、.教具：多媒体、投影仪.一、【知识结构】直线与圆锥曲线交点的个数弦长公式最值问题定点定值问题二、【知识梳理】1.直线与圆锥曲线的位置关系主要是指直线和圆锥曲线公共点的个数问题，解决的方法是转化为，进而转化为一元（一次或二次）方程解的情况去研究.另外，还能利用数形结合的方法，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系.2.直线与圆锥曲线相交的弦长计算（1）当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用求弦长.（2）解由直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组对，得到关于（或）的一元二次方程，设直线与圆锥曲线交于，两点，则弦长公式为：或实质

3、上是由两点间距离公式推导出来的，只是用了交点坐标设而不求的技巧.3.弦的中点问题多数问题可合理准确地运用韦达定理来解决，但弦的中点坐标与其斜率可有曲线方程，合理使用次关系，可简化解题过程，如：设、是椭圆上不同两点且，，是其中点，则，11/11两式做差可得其中可以看作而是.这种方法叫代点法，最后需要检验直线与曲线是否相交三、【范例导航】例1已知直线，讨论直线与双曲线的交点的个数.【分析】联立方程组，从方程解的个数来判断直线与曲线交点的个数.【解答】由方程组消去可得（1）当时，即时，方程化为，此时直线与双曲线仅有一个交点.（2）当时

4、即时，①若即且时直线与双曲线有两个交点；②若即时，直线与双曲线只有一个交点；③若即或时，直线与双曲线没有交点.【点评】将直线与圆锥曲线的位置问题转化为一元二次方程解的判断，是解决这类问题的通法，有些不易根据方程分析的问题，也可以采用树形结合的方法.变式训练:直线与双曲线的右支交于不同的两点A、B.求实数k的取值范围.答案：将直线的方程代入双曲线方程整理后得：……①依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故11/11例2已知椭圆，过点，斜率为1的直线交椭圆于两点，求弦的长.【分析】可设（或求）出直线方程，与椭圆方程联立，利用弦

5、长公式求得.【解答】由题意可得直线方程为，与椭圆方程联立，消去得则设，由韦达定理得代入弦长公式得：【点评】本题也可以求出两个交点的坐标，代入两点间距离公式求解.变式训练:斜率为1的直线l与椭圆相交于A、B两点，求

6、AB

7、的最大值.答案：设直线方程为，代入椭圆方程得：由得设，由韦达定理得代入弦长公式得：

8、AB

9、=≤当时取得最大值.例3已知为椭圆的两个焦点，是过焦点的一条动弦，求面积的最大值.【分析】的面积是由直线的斜率确定的，因此可构建以为自变量的目标函数，用代数的方法求函数的最大值.【解答】由题意，，设直线的方程为代入椭圆方程得

10、则，所以11/11当即时，三角形面积的最大值为变式训练:已知点，动点满足条件．记动点的轨迹为．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值．答案：解法一：（Ⅰ）由

11、PM

12、-

13、PN

14、=2知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a=．又半焦距c=2.故虚半轴长b=，所以W的方程为（Ⅱ）设A、B的坐标分别为（x1y1），（x2y2）．当轴时，，从而.当与轴不垂直时，设直线的方程为，与的方程联立，消去得，故所以又因为，所以，从而．综上，当轴时，取得最小值2．解法二：11/11（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设、的坐

15、标分别为，则令，则，且，，所以当且仅当，即时“=”成立．所以的最小值是2．例4已知椭圆：.过点作圆的切线交椭圆于两点.(1)求椭圆的焦点坐标和离心率;(2)将表示为的函数，并求的最大值.【分析】利用圆锥曲线的性质解题.【解答】(1)由已知得，所以.所以椭圆的焦点坐标为.离心率为.(2)由题意知，.当时，切线的方程为，点的坐标分别为，此时＝.当时，同理可得＝.当时，设切线的方程为.由，得.设两点的坐标分别为,，则.11/11又由与圆相切，得，即.所以＝＝＝.由于当时，＝，所以＝，.因为＝＝，且当时，＝2，所以的最大值为2.【点评】

16、圆锥曲线中的最值问题主要有：与圆锥曲线有关的线段长度、图形面积等.研究的常见途径有两个：（1）利用平面几何中的最值结论;（2）把几何量用函数表示出来，再用函数或不等式知识求最值，要注意的是借助代数方法求最值时要特别注意自变量的取值范围.变式训练:（2012年山东