浅述排列组合中几类常见问题解法

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1、浅述排列组合中几类常见问题的解法-中学数学论文浅述排列组合中几类常见问题的解法江苏省阜宁中学陈为霞一、相邻与不相邻问题相邻问题的常用方法是捆绑法，即把几个相邻元素放在一起，与其它的元素进行排列、组合，而不相邻问题常用方法是插空法。例．8人排成一队，A、B、C三人互不相邻。D、E两人相邻的排法有多少种。6/6二、分组问题例1：将9本不同的书分成三组：（1）若一组2本，一组3本，一组4本，有多少种分法。（2）若平均分成三组，即每组3本，有多少种分法。（3）若平均分给甲、乙、丙三个人，每人三本，有多少种分法。分析：分组时，每一组中的元素不讲顺序的，是组合问题

2、，但是平均分与不平均分是有区别的，平均分成组与平均分给人也有区别。例2：6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则共有多少种分法？分析：每人至少一本，则有三种不同的可能，一种是1、1、4，第二种是1、2、3，第三种是2、2、2，因此可以将六本不同的书先按上述三种情况分组，然后由组与人对应。解：先将六本不同的分成三组，按以下分类情况予以讨论。6/6故共有90种分组方法。再将三组书与甲、乙、丙三人对应，有三、涂色问题涂色问题在近几年的高考试卷中常出现或是以其它问题形式出现，但最终都可以转化为涂色问题求解，该问题常会问“相邻区域不同色”，“同一线段的两

3、端点不同色”等问题。例3：某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现要栽种四种不同颜色的花，每部分栽种一种，且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有多少种。分析：本题实际是六个区域涂四种颜色，是涂色问题，本题解法较多讨论亦繁，我们这里只介绍一种方法：“两两相邻区域奠基法”6/6④④与⑥同色时，⑥只有一种D。⑤有2种，共2种④与⑥不同色④与②同色。⑥有2种⑤一种，共2种④与②不同色。⑥有一种，⑤一种，共1种∴有5种涂法。从而涂色种数为24×5=120种四、多面手问题“多面手”是指某元素在两个或两个以上方面都可以出现，但由于一个元素只

4、能出现在一个方面，因此，此类问题的思考方法是“多面手出几个元素参加其中一个方面活动”例4：某旅行社有导游9人，其中三人只会英语，2人只会日语，其余4人既会英语又会日语，现要从中选6人，其中三人做英语导游，另外三人做日语导游，则不同的选择种数。解：以多面手（既会英语又会日语）出几个人去做英语导游为分类依据。6/6所以共有：20+120+72+4=216（注：多面手出去做英语导游时，则必被选中，余下的多面手与会日语合在一起，作为日语导游的选择对象，不一定被选中）五、错排问题错排问题是指元素应该在某一位置上，而事实上却不在这一位置的一类排列、组合问题，该类问

5、题最早由“贝努里错信问题”引出。“贝努里错信问题：一个人写好了n封信和n个信封，在寄信时，每一封信都没有装入到与其对应的信封中，问共有多少种装错信的方法。”它的答案是：（责任编辑：冯光庭）6/66/6