几类经典排列组合问题.doc

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1、一、小球放盒子问题（分组问题）（1）6个不同的小球放到6个不同的盒子里。解析：分步乘法计数原理，每个小球都有六种放法答案：66。（2）6个不同的小球放到6个不同的盒子里，要求每个盒子只能放一个小球。解析：思路一：分步乘法计数原理，第一个小球有6种放法第二个小球有5种放法……第六个小球有1种放法即6*5*4*3*2*1；思路二：将小球按顺序摆放后，与不同的盒子相对应即可，即A66。答案：720。（3）6个不同的小球平均放到3个相同的盒子里。解析：平均分组的问题因为盒子相同，相当于把小球等分成三堆，设想6

2、个小球编号为ABCDEF，首先从6个球中选出2个，为C26；然后从剩下的4个球中选出2个，为C24；最后剩下2个球，为C22；但是：C26取出AB球、C24取出CD球、剩EF球；C26取出AB球、C24取出EF球、剩CD球；C26取出CD球、C24取出AB球、剩EF球；C26取出CD球、C24取出EF球、剩AB球；C26取出EF球、C24取出AB球、剩CD球；C26取出EF球、C24取出CD球、剩AB球；得到的结果是一样的，故按照C26C24C22组合完成后还应除去A33，答案：C26C24C22/A

3、33（4）6个不同的小球平均放到3个不同的盒子里。解析：平均分组后再分配的问题平均分组得到的结果为C26C24C22/A33，分完组后三堆小球还要放到不同的盒子里，即再进行一个A33的排列答案：C26C24C22（5）6个不同的小球按1、2、3的数量，分别放到3个相同的盒子里。解析：非平均分组的问题因为盒子相同，相当于把小球分成数量不等的三堆，首先从6个球中选出1个，为C16；然后从剩下的5个球中选出2个，为C25；最后剩下3个球，为C33；注意：因为这个问题是非平均分组，故不存在（3）中出现的重复的

4、情况，因此C16C25C33即为最后结果，不需要再除以A33答案：C16C25C33（6）6个不同的小球按1、2、3的数量，分别放到3个不同的盒子里。解析：非平均分组再分配的问题非平均分组得到的结果为C16C25C33/A33，分完组后三堆小球还要放到不同的盒子里，即再进行一个A33的排列答案：C16C25C33A33（7）6个不同的小球按1、1、1、3的数量，分别放到4个相同的盒子里。解析：部分平均分组的问题分成的四堆中，有三堆数量一样，设想6个小球编号为ABCDEF，首先从6个球中选出3个，为C3

5、6；然后从剩下的3个球中选出1个，为C13；再从剩下的2个球中选出1个，为C12；最后剩下1个球，为C11；但是：C36取出ABC球、C13取出D球、C12取出E球、剩F球；C36取出ABC球、C13取出D球、C12取出F球、剩E球；C36取出ABC球、C13取出E球、C12取出D球、剩F球；C36取出ABC球、C13取出E球、C12取出F球、剩D球；C36取出ABC球、C13取出F球、C12取出D球、剩E球；C36取出ABC球、C13取出F球、C12取出E球、剩D球；得到的结果是一样的，故按照C36

6、C13C12C11组合完成后还应除去A33，答案：C36C13C12C11/A33（8）6个不同的小球按1、1、1、3的数量，分别放到4个不同的盒子里。解析：部分平均分组再分配的问题部分平均分组得到的结果为C36C13C12C11/A33，分完组后四堆小球还要放到不同的盒子里，即再进行一个A44的排列答案：(C36C13C12C11/A33)A44（9）6个不同的小球按1、1、2、2的数量，分别放到4个相同的盒子里。解析：部分平均分组再分配的问题答案：C26C24C12/（A22A22）（10）6个不

7、同的小球按1、1、2、2的数量，分别放到4个不同的盒子里。解析：部分平均分组再分配的问题答案：[C26C24C12/（A22A22）]A44（11）6个不同的小球放到5个不同的盒子里，要求每个盒子至少放一个。解析：分类讨论分组再分配的问题，首先应该确定小球个数的分配方案，5个盒子6个球，满足每盒至少一个，那么有且只有一个盒子放2个，其他盒子放一个；即小球按照2、1、1、1、1的数量，分别放到5个不同的盒子中。答案：（C26C14C13C12C11/A44）A66（12）6个不同的小球放到3个不同的盒子

8、里，要求每个盒子至少放一个。解析：分类讨论分组再分配的问题，首先应该确定小球个数的分配方案：114，部分平均分组再分配的问题：（C16C15C44/A22)A33123，非平均分组再分配的问题的问题：C16C25C33A33222，完全平均分组再分配的问题：C26C24C22答案：（C16C15C44/A22)A33+C16C25C33A33+C26C24C22（13）6个相同的小球放到3个不同的盒子里，要求每个盒子至少放一个。解析：思路一：首先应该确定