竞赛数学中几类不等式的解法.doc

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1、竞赛数学中几类不等式的解法1．排序不等式定理1设，则有(倒序积和)（乱序积和）（顺序积和）其中是实数组一个排列，等式当且仅当或时成立.（说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.）证明：考察右边不等式，并记。不等式的意义：当时，S达到最大值.因此，首先证明必须和搭配，才能使S达到最大值.也即，设且和某个搭配时有（1-1）事实上，不等式（1-1）告诉我们当时，调换和的位置（其余n-2项不变），会使和S增加.同理，调整好和后，再调整和会使和增加.经过n次调整后，和S达到最大值，这就证明了.再证不等式左端,由及已证明的不等式右端，得即.例1（美国第3届中学生数学竞赛题）

2、设a,b,c是正数，求证：.思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明.证明：不妨设，则有根据排序不等式有：以上两式相加，两边再分别加上有即故.例2设a,b,c，求证：.思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明.证明：不妨设，则且根据排序不等式，有两式相加除以2，得再考虑，并且利用排序不等式，两式相加并除以2，即得综上所述，原不等式得证.例3设，而与是的两个排列.求证：.（1-2）思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式.证明：令（r=）显然因为，且由排序不等式又因为所以且（注意到0）故故原式得证

3、.2.均值不等式定理2设是n个正数，则称为均值不等式.其中，　，，　，　分别称为的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数.证明：先证.记，令，则原不等式其中取使则由排序不等式，易证下证因为]所以　　.从上述证明知道，当且仅当时，不等式取等号.下面证明对n个正数，应用，得即（等号成立的条件是显然的）.例4已知，求证：.证明：由于，，有从而下证，即。又因为，等号在x=(这时y=)时取得所以　　　　　　.例5（IMO）设a,b,c是正实数，且满足abc=1.证明：证明：令，其中x,y,z是正实数，将原不等式变形为（2-1）记，注意到u,v,w任意两个之和是一个正数，所以它们中

4、间至多有一个负数.如果恰有一个负数，那么，（2-1）式成立.如果这三个数都大于0，由算术—几何平均不等式同理可证，，于是即，（2-1）式得证.例6已知，且.求证：.思路分析：左边各项形式较复杂，首先将其化简为.左边为和的形式，但其各项之和难与右边联系，利用算术平均大于几何平均难以求证，而左边各项可看为倒数形式，尝试用调和平均.证明：不等式左边化为，对，利用有即所以.3．柯西不等式定理3设，（i=1,2,…n）,恒有不等式，当且仅当时，等式成立.证明：作关于x的二次函数若，即时，显然不等式成立.若时，则有且故从上面过程看出，当且仅当时，不等式取等号.例7设，求证：.思路分析：注意到

5、式子中的倒数关系，考虑运用柯西不等式来证明.证明：因为0，故由柯西不等式，得所以.例8已知实数，e满足，求e的取值范围.思路分析：由联想到应用柯西不等式.解：因为　　　　即　　　　，　　　　即　　　，所以　　，故　　　.评述：此题十分巧妙地应用柯西不等式求最值，十分典型，它是将重要不等式应用于求最值问题的一道重要题目.例9满足，求的最小值.解：容易猜到时，取最小值.为了证明这一点，利用柯西不等式，得，只需要证明等价于（3-1）由几何—算术平均不等式，得，同理可证，，，以上三式相加，（3-1）式得证，进而证得的最小值是，当且仅当时。评述：柯西不等式中的的项如何拆成两个因式和的积，可

6、以说是应用此不等式的主要技巧（上例，我们将中的表示为和的积），正因为可以按照我们的需要加以分解，柯西不等式的应用更为广泛.例10试问：当且仅当实数满足什么条件是，存在实数使得成立，其中，i为虚数单位，k=0,1,…,n.证明你的结论.（高中联赛，1997）思路分析：将成立转换到实数范围内求解。根据表达式的特点，结合柯西不等式寻找的范围.解：将转化到实数范围内，即（3-2）若存在实数使（3-2）成立，则.由柯西不等式可得（3-3）如果，由（3-2）可知，从而与（3-3）矛盾于是得（3-4）反之若（3-4）成立，有两种情况：⑴，则取，k=0,1,2,…,n，显然（3-2）成立.⑵，记

7、，则不全为0.不妨设，取，并且取易知（3-2）成立.综上，所求的条件为.4．切比雪夫不等式定理4设，为任意两组实数，若且或且，则（4-1）若且或且，则（4-2）当且仅当或时，（4-1）和（4-2）中的不等式成立.证明：设为两个有相同次序的序列，由排序不等式有…………把上述n个式子相加，得上式两边同除以，得等号当且仅当或时成立.例10设，求证：证明：不妨令，则　　由切比雪夫不等式，有　　即从而证得.　　例11已知.求证：.证明：取，则由，可知，满足切比雪夫不等式的条件，故又由均值不