放缩法类型总结

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1、用放缩法处理数列和不等问题一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例1．正数数列a的前n项的和S，满足2Sa1，试求：nnnn（1）数列a的通项公式；n11（2）设b，数列b的前n项的和为B，求证：Bnnnnaa2nn12222解：（1）由已知得4S(a1)，n2时，4S(a1)，作差得：4aa2aa2a，所nnn1n1nnnn1n1以(aa)(aa2)0，又因为a为正数数列，所以aa2，即a是公差为2的等差数列，nn1nn1nnn1n由2Sa1，得a1，所

2、以a2n1111n11111（2）b()，所以naa(2n1)(2n1)22n12n1nn1111111111B(1)n23352n12n122(2n1)2二．先放缩再求和1．放缩后成等比数列，再求和1例2．等比数列a中，a，前n项的和为S，且SSS,,成等差数列．n1n79822an1设b，数列b前n项的和为T，证明：T．nnnn1a3na19解：∵AAaa，AAa，aaa，∴公比q．9789899899a2811n4n11∴a()．b．nn1n

3、nn2n4(2)321()2n（利用等比数列前n项和的模拟公式SAqA猜想）n11(1)1111222111∴Bbbb(1)．n12n2n1n3232323323122．放缩后为“差比”数列，再求和师出教育电话：400-600-2690第1页共3页咨询QQ:1400700402nn1例3．已知数列{}a满足：a1，a(1)a(n1,2,3)．求证：aa3n1n1nnn1nn122n证明：因为a(1)a，所以a与a同号，又因为a10，所以a0，n1nnn1n

4、1n2n即aaa0，即aa．所以数列{}a为递增数列，所以aa1，n1nnnn1nnn12nn12n1即aaa，累加得：aa．n1nnnnn12n12222212n1112n1令S，所以S，两式相减得：n2n1n23n222222211111n1n1n1S，所以S2，所以a3，n23n1nnn1nn122222222n1故得aa3．n1nn123．放缩后成等差数列，再求和2例4．已知各项均为正数的数列{}a的前n项和为S,且aaS

5、2.nnnnn22aann1(1)求证：S；n4SS1nn1(2)求证：SSS12n2222解：（1）在条件中，令n1，得aa2S2a，a0a1，又由条件aa2S有111111nnn2aa2S，上述两式相减，注意到aSS得n1n1n1n1n1n(aa)(aa1)0a0aa0∴aa1n1nn1nnn1nnn1nn(1)所以，a11(n1)n，Snn22222n(n1)1n(n1)anan1所以Sn2224nn(n1)n

6、1（2）因为nn(n1)n1，所以，所以222师出教育电话：400-600-2690第2页共3页咨询QQ:14007004021223n(n1)23n1SSS12n2222222n3nSn1112nn(n1)Sn；SSS12n222222222师出教育电话：400-600-2690第3页共3页咨询QQ:1400700402