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1、2010高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求的值;(2)求证:. 解析:(1)因为,所以 (2)因为,所以 奇巧积累:(1)(2) (3) (4) (5)(6) (7)(8) (9) (
2、10)(11) (11) (12) (13) (14)(15) (15) 例2.(1)求证: (2)求证: (3)求证: (4)求证： 解析:(1)因为,所以 (2) (3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先,所以容易经过裂项得到 再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以 例3.求证: 解析:一方面:因为,所以 另一方面: 当时,,当时,, 当时,,所以综上有 例4.(2008年全国一卷)设函数.数列满足..设，整数.证明:
3、. 解析:由数学归纳法可以证明是递增数列,故存在正整数,使,则 ,否则若,则由知 ,,因为, 于是 例5.已知,求证:. 解析:首先可以证明: 所以要证 只要证: 故只要证,即等价于 ,即等价于 而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知,,求证:. 解析: 所以 从而 例7.已知,,求证: 证明:,因为 ,所以 所以 二、函数放缩 例8.求证：. 解析:先构造函数有,从而 因为 所以 例9.求证:(1) 解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答
4、案 函数构造形式:, 例10.求证: 解析:提示: 函数构造形式: 当然本题的证明还可以运用积分放缩 如图,取函数, 首先:,从而, 取有,, 所以有,,…,,,相加后可以得到: 另一方面,从而有 取有,, 所以有,所以综上有 例11.求证:和. 解析:构造函数后即可证明 例12.求证: 解析:,叠加之后就可以得到答案 函数构造形式:(加强命题) 例13.证明: 解析:构造函数,求导,可以得到: ,令有,令有, 所以,所以,令有, 所以,所以 例14.已知证明. 解析:
5、, 然后两边取自然对数,可以得到 然后运用和裂项可以得到答案) 放缩思路： 。于是， 即 注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩： ， 即 例15.(2008年厦门市质检)已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立. (I)求证：函数上是增函数； (II)当； (III)已知不等式时恒成立， 求证： 解析:(I),所以函数上是增函数 (II)因为上是增函数,所以 两式相加后可以得到 (3) …… 相加后
6、可以得到: 所以令,有 所以 (方法二) 所以 又,所以 例16.(2008年福州市质检)已知函数若 解析:设函数 ∴函数）上单调递增，在上单调递减. ∴的最小值为，即总有 而 即 令则 三、分式放缩 姐妹不等式:和 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之. 例19.姐妹不等式:和 也可以表示成为 和 解析:利用假分数的一个性质可得 即 例20.证明: 解析:运用两次次分式放缩: (加1)
7、 (加2) 相乘,可以得到: 所以有 四、分类放缩 例21.求证: 解析: 例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编)在平面直角坐标系中,轴正半轴上的点列与曲线（≥0）上的点列满足，直线在x轴上的截距为.点的横坐标为,. (1)证明>>4，;(2)证明有，使得对都有<. 解析:(1)依题设有：，由得： ,又直线在轴上的截距为满足 显然，对于，有 (2)证明：设，则 设，则当时， 。 所以，取，对都有： 故有<成立。 例23.(2007年泉州市高三质检)已
8、知函数，若的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论。 解析:首先求出,∵ ∴,∵,,… ,故当时,, 因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数， 则当时,必有. 故不存在常数A使对所有的正整数恒成立
