量子力学习题

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1、·量子力学复习题·量子力学常用积分公式(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)()(8)(a<0)(正偶数)(9)=(正奇数)()(10)()(11))()(12)(13)7/7(14)(15)(16)()()一、简答题1.束缚态、非束缚态及相应能级的特点。2.简并、简并度。3.用球坐标表示，粒子波函数表为，写出粒子在立体角中被测到的几率。4.用球坐标表示，粒子波函数表为，写出粒子在球壳中被测到的几率。5.一粒子的波函数为，写出粒子位于间的几率。6.写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。7.写出三维无限深势阱中粒

2、子的能级和波函数。8.一质量为的粒子在一维无限深方势阱中运动，写出其状态波函数和能级表达式。9.何谓几率流密度？写出几率流密度的表达式。10.写出在表象中的泡利矩阵。11.电子自旋假设的两个要点。12.的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？13.写出电子自旋的二本征态和本征值。14.给出如下对易关系：15.、分别为电子的自旋和轨道角动量，为电子的总角动量。证明：，[]=0，其中。7/716.完全描述电子运动的旋量波函数为，准确叙述及分别表示什么样的物理意义。17.二电子体系中，总自旋，写出（）的归一化本征态（

3、即自旋单态与三重态）。18.何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？19.给出一维谐振子升、降算符的对易关系式；粒子数算符与的关系；哈密顿量用或表示的式子；（亦即）的归一化本征态。20.二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有哪两种表象？它们的力学量完全集分别是什么？两种表象中各力学量共同的本征态及对应的本征值又是什么？21.使用定态微扰论时，对哈密顿量有什么样的要求？22.写出非简并态微扰论的波函数（一级近似）和能量（二级近似）计算公式。23.量子力学中，体系的任意态可用一组力学量完全集的共同本征态展开：

4、，写出展开式系数的表达式。24.一维运动中，哈密顿量，求25.什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。26.什么样的状态是定态，其性质是什么？27.简述测不准关系的主要内容，并写出坐标和动量之间的测不准关系。28.厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？29.全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。二、计算题（一）.已知厄密算符，满足，且，求1、在A表象中算符、的矩阵表示；2、在B表象中算符的本征值和本征函数；3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。（二）.设氢原子在时处于状态，求1、时

5、氢原子的、和的取值几率和平均值；2、时体系的波函数，并给出此时体系的、和的取值几率和平均值。（三）7/7考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出这里，，是一个常数，，用微扰公式求能量至二级修正值，并与精确解相比较。（四）、令，，分别求和作用于的本征态和的结果，并根据所得的结果说明和的重要性是什么？（五）、线性谐振子在时处于状态，其中，求1、在时体系能量的取值几率和平均值。2、时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值（六）、当为一小量时，利用微扰论求矩阵的本征值至的二次项，本征矢至的一次

6、项。（七）、一体系由三个全同的玻色子组成,玻色子之间无相互作用.玻色子只有两个可能的单粒子态.问体系可能的状态有几个?它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?（八）、粒子在一维势场中运动,证明:属于不同能级的束缚态波函数互相正交。(设、分别属于能级、的束缚态波函数，由于是一维束缚态，、都是实函数，故只需证明)（九）、已知二阶矩阵、满足：，，，在表象中，求出矩阵、。7/7（十）、在表象中，求自旋算符在方向投影算符的本征值和相应的本征态。（十一）、用做尝试波函数，用变分法求谐振子的基态能量。（十二）、一电荷为的线性谐振子受恒定

7、电场作用，电场沿正方向。用微扰法求体系的定态能量和波函数。（十三）、（1）力学量算符满足最简单的代数方程为，其中、、…为常数，试证明有个本征值，它们都是方程的根。（2）若以和表示费米子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，满足基本对易式：，且，，以表示该单粒子态上的粒子数算符，利用（1）的结论，求的本征值。（十四）、有一带电荷质量的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.（十五）、试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能]（十六）、对于无限深势阱中运动的粒子（见图3-1）证明并证明当时上述结果与经典

8、结论一致。7/7（十七）、利用测不准关系估计类氢原子中电子的基态能量（设原子核带电Ze）。（十八）、在表象中，求的本征态（十九）、一维无限深势阱（）中的粒子受到微扰：的作用，求基态能量的一级修正。（二十）、令7/7(1)证明T是厄米矩阵(2)求本征值(3)求归一化的本征态构造基矢变换矩阵S，使得T成为对角矩阵。三、教材中习题及作业