量子力学作业习题

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1、第一章量子力学的诞生[1]在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明：(l）长l=lm，质量M=1kg的单摆的零点振荡的振幅；(2）质量M=5g，以速度10cm/s向一刚性障碍物（高5cm，宽1cm）运动的子弹的透射率；(3）质量M=0.1kg，以速度0.5m/s运动的钢球被尺寸为1×1.5m2时的窗子所衍射．[2]用h,e,c,m（电子质量）,M（质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计：(1）玻尔半径（cm);(2）氢原子结合能（eV);(3）玻尔磁子；(4）电子的康普顿波长（cm);(5）经典电子

2、半径（cm);(6）电子静止能量（MeV);(7）质子静止能量(MeV);(8）精细结构常数；(9）典型的氢原子精细结构分裂[3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内，(1）电子的汤姆逊截面；(2）氢原子的电离能；(3）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；(4）37Li(z=3）核的磁偶极矩；(5）质子和中子质量差；(6)4He核的束缚能；(7）最大稳定核的半径；(8）Π0介子的寿命；(9）Π-介子的寿命；(10）自由中子的寿命．[4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？

3、哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由．(1）光电效应；(2）黑体辐射谱；(3)Franck–Hertz实验；(4)Davisson-Ger-mer实验；(5)Compton散射．[5]考虑如下实验：一束电子射向刻有A、B两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置．在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释．(1)A缝开启，B缝关闭；(2)B缝开启，A缝关闭；(3）两缝均开启．[6]验算三个系数数值：（1）；（2）；（3）hc第二章波函数与Schrödinger方程[

4、1]试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能][2]一维运动的粒子处在的状态，其中，求：（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子动量的平均值。[3]平面转子的转动惯量为,求能量允许值[4].有一带电荷质量的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.[5]对高速运动的粒子(静质量)的能量和动量由下式给出(1)(2)试根据哈密顿量(3)及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光速.[6].（1）试用Fermat最小光程原理导出光的折射定律（2）光的波动论的拥护者

5、曾向光的微粒论者提出下述非难：如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理认为则这将导得下述折射定律这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子：仍就成立，E是粒子能量，从一种媒质到另一种媒质E仍不变，仍有，你怎样解决矛盾？[7].当势能改变一常量C时,即,粒子的波函数与时间无关部分变否?能量本征值变否?[8].试证粒子势能的极小值是[9].设与是薛定谔方程式两个解，证明与时间无关。[10].考虑单粒子的薛定谔方程式：V1，V2为实函数，证明粒子的几率不守恒。求出在空间体积Ω内，粒子几率“丧失”或“增加”的速率。[11].对

6、于一维自由运动粒子，设求。[12].证明从单粒子的薛定谔方程式得出的速度场是非旋的，即第三章一维定态问题[1].对于无限深势阱中运动的粒子（见图3-1）证明并证明当时上述结果与经典结论一致。[2].试求在不对称势力阱中粒子的能级。[3].设质量为ｍ的粒子在下述势阱中运动：　　　　求粒子的能级。[4].考虑粒子在下列势阱壁（ｘ＝０）处的反射系数[5].试证明对于任意势垒，粒子的反射系数Ｔ满足Ｒ＋Ｔ＝１。[6].设在一维无限深势阱中运动的粒子的状态用：描述，求粒子能量的可能植及相应的几率。[7].设一谐振子处于基态，求它的并验证测不准

7、关系：[8].设粒子处于无限深势阱中，状态用波函数描述，是归一化常数，求（1）粒子取不同能量几率分布。（2）能量平均值及涨落。[9].一维无限深势阱中求处于态的粒子的动量分布几率密度。[10].写出动量表象中谐振子的薛定谔方程式，并求出动量几率分布[11].一维谐振子处在基态，求：(1)势能的平均值；(2)动能的平均值；(3)动量的几率分布函数。[12].氢原子处在基态，求：(1)r的平均值；(2)势能的平均值；(3)最可几半径；(4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。[13].证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标

8、中的分量是[14].一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是，L为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：(1)转子绕一固定轴转动：(2)转子绕一固定点转动：[15].设t=0时，粒子的状态为求此时粒子的平均动量和平均动能