量子力学课后习题

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1、第一章绪论1.在0K附近,钠的价电子能量约为3电子伏,求其德布洛意波长。2.氦原子的动能是(k为玻耳兹曼常数),求T=1K时,氦原子的德布洛意波长。3.利用玻尔-索末菲的量子化条件,求(1)一维谐振子的能量;(2)在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。4.两个光子在一定条件下可发转化为正负电子对。如果两光子的能量相等,问要实现这种转化,光子的波长最大是多少?第二章波函数和薛定谔方程1.证明在定态中,几率密度和几率流密度与时间无关。2.由下列两定态波函数计算几率流密度:(1),(2)3.求粒子在一维无限深势阱中运动的能级和波函数。4.证明(2.6-14)式中的归一化常数是5.求一维线

2、性谐振子处于第一激发态时几率最大的位置。6.试求算符的本征函数。7.如果把坐标原点取在一维无限深势阱的中心,求阱中粒子的波函数和能级的表达式。第一章量子力学中的力学量1.一维线性谐振子处于基态,求:(1)势能的平均值;(2)动能的平均值;(3)动量的几率分布函数。2.氢原子处于基态,求:(1)r的平均值;(2)势能的平均值;(3)最可几半径;(4)动能的平均值;(5)动量的几率分布函数。3.一刚性转子转动惯量为I,它的能量的经典表示式是,L为角动量。求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数:(1)转子绕一固定轴转动;(2)转子绕一固定点转动。4.一维运动的粒子的状态是其中,求(

3、1)粒子动量的几率分布函数;(2)粒子的平均动量。5.在一维无限深势阱中运动的粒子,势阱的宽度为,如果粒子的状态由波函数描写,A为归一化常数,求粒子能量的几率分布和能量的平均值。6.设氢原子处于状态    求氢原子的能量,角动量平方及角动量z分量的可能值,这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。7已知和是二个厄密算符,试证明:(1)也是厄密算符(2)也是厄密算符8.令和,试证明(1)[]=;(2)[]=第四章态和力学量的表象1.求动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元。2.求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。3.求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。4.求线性谐振子哈

4、密顿量在动量表象中的矩阵元。5.设已知在和表象中,算符和和矩阵分别为   , 求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵和对角化。6.设厄米算符,满足,,求在表象中,算符和的矩阵表示。第五章微扰理论1.如果类氢原子的核不是点电荷,而是半径为r0、电荷分布均匀的小球,计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。2.设一体系未受微扰作用时只有两个能级:E01和E02,现在受到微扰的作用,微扰矩阵元为,;a,b都是实数。用微扰公式求其能量至二级修正。3.有一粒子,其Hamilton量的矩阵形式为:,其中求能级的一级近似和波函数的0级近似。4.在某一选定的一组正交基下哈米顿算符由下列矩阵给出(1

5、)设c<<1,应用微扰论求H本征值到二级近似;(2)求H的精确本征值;(3)在怎样条件下,上面二结果一致。5.求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。第七章自旋与全同粒子1.求证:。2.在本征态下,求3.在表象中,求和的本征值和所属的本征函数。4.求自旋角动量在方向的投影的本征值和所属的本征函数。5.设氢原子状态是     (1)求轨道角动量z分量和自旋角动量z分量的平均值;(2)求总磁矩 (SI)的z分量的平均值(用玻尔磁子表示)。(1)一体系由三个全同的玻色子组成,玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个?它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?7.证明,,和组

6、成正交归一系。8.设两电子在弹性中心力场中运动,每个电子的势能是。如果电子之间的库仑能和可以忽略,求当一个电子处在基态,另一个电子处于沿x方向运动的第一激发态时,两电子组成体系的波函数。

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