基于fft和fft ip核的谐波检测方法的研究

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－甲‘％单位代码１０３５９：ＴＭ９３５分类号：学号：２０１４１１０３８７寧级：公开冬化义今大令＾考〇Ｈｅ化ｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ硕：ｔ学位论文Ｍ乂ＳＴＥＲＤＥＧＲＥＥＴＨＥＳＩＳ’于ＦＦＴ和ＦＦＴＩＰ核的谐波．基论文题罔＊检測方法的研究学位类别：学历硕±学科专业：电工理论与新技术（工程领城）■作者姓名：徐场导师姓名：陈波副教授完成时问：２０１７年４月．．． 合肥工业大学本论文经答辩委员会全体委员窜查，确认符合含肥工业Ｒ挙学历硕±学位论文质量要求。‘答辩委员会签名（工作单位、职称、姓名）生庶：中科院合肥物质研究模研究员委员：＇？Ｊ电料院合肥物质研究院研究员合肥Ｘ业大学教授合肥Ｘ业大学副教授．？．合肥工业大学副教授為名站导师；合肥Ｘ业大学副教授 学位论文独创性声明本人郑Ｍ辦明：所呈交的学位论文是本人化导师指导下进行魏盘研究工作所取得的成果。据我所知，除了文中特别加抖标注和毁谢的内容外，论文中不包含其他人己经发表或撰写过的研巧成果，也不包含为获得合肥工业大学或其他。教育机构的学位或证书而使用过的材料对本文成果做出贡献的个人和集体，本人已在论文中作了明确的说明，并表示谢意。学位论文中表这的观点纯属作者本人观点，与合肥＿Ｘ业大学无关。ｉ学位论文作者签名；签名日期：方年月曰德扬夺砰本学位论文版权使用授极书学位论文作者完全了解合赃工业大学有关保監、使用学位论文的规定，民Ｐ：除保密期内的涉密学位论文外，学校有权保存并向国家有关部口或机构送交论文的复巧件和电子光盘，允许论文被查阔或借阅。本人授权合肥Ｘ业大学可：Ｗ将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库，允许采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。（保密酌学位论文在解密后远用本授较书）？学位论文作者签名；指导教师签名；涂扬签名因期；２０１年月因签名曰期；王〇１年月Ｚ曰］？午今论砰文作者毕业去向ＺＥ作单位；－ｍａｉｌ；联系电话：Ｅ通讯地化；邮政编码： 单位代码：10359密级：公开学号：2014110387分类号：TM935HefeiUniversityofTechnology硕士学位论文MASTER’SDISSERTATION论文题目：基于FFT和FFTIP核的谐波检测方法的研究学位类别：学历硕士专业名称：电工理论与新技术作者姓名：徐扬导师姓名：陈波副教授完成时间：2017年4月 合肥工业大学学历硕士学位论文基于FFT和FFTIP核的谐波检测方法的研究作者姓名：徐扬指导教师：陈波副教授学科专业：电工理论与新技术研究方向：电工电能新技术及其应用2017年4月 ADissertationSubmittedfortheDegreeofMasterResearchonHarmonicDetectionMethodsBasedonFFTandFFTIPCoreByXuYangHefeiUniversityofTechnologyHefei,Anhui,P.R.ChinaApril,2017 致谢时间过得飞快，转眼间三年的研究生生活即将结束，在这三年里，我遇到了很多的挫折和挑战，在很多的问题上，我得到了我的家人、老师、同学、朋友的帮助，在此向他们表示感谢。感谢我的导师陈波副教授，陈老师严谨的治学态度、平易近人的品格、丰富的科研经验使我受益匪浅，在论文的写作过程中，陈老师从选题到框架结构以及论文的最终完成都给予了我很大的帮助，使我顺利地完成了毕业论文。同时，感谢刘冬梅副教授，刘老师对我的论文提供了很多宝贵的指导，在科研上给了我很大的帮助，另外，刘老师在生活上也给予了我很大的帮助，让我能够用一个积极的心态去完成研究生阶段的各项任务。感谢实验室的同学们，在我三年的研究生生活中，他们给予了我很大的帮助，使我收获了很多的开心和感动。还要感谢我的朋友，他们在生活中给我提供了很大的帮助，在此表示感谢。研究生的三年生活，我学到了很多，无论是在做人还是做事上，我都有很大的进步，感谢我的母校合肥工业大学，感谢电气学院，在工大美丽的校园里，我度过了三年愉快美好的时光。最后，我要感谢我的父母，感谢他们含辛茹苦地把我培养到硕士毕业，感谢他们的理解和包容，正是由于他们的支持，我才能安心地完成学业，在我的学习和生活中，父母是我力量的来源，在以后的生活中，我一定会更加努力，回报父母的养育之恩。作者：徐扬2017年4月I 摘要谐波对电力系统的安全、稳定、经济运行造成了极大的影响，研究电力系统的谐波问题具有重要的意义，谐波检测是研究谐波问题的出发点和主要依据。在众多的谐波检测方法中，FFT由于其易于实现而颇受青睐，但由于频谱泄漏和栅栏效应的影响，FFT在进行谐波检测时会产生很大的误差，因而研究FFT的改进算法以及在硬件中实现FFT运算具有十分重要的意义。本文首先分析了加窗双谱线插值FFT算法以及加窗三谱线插值FFT算法，提出了基于加4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法和加4项5阶Nuttall窗三谱线插值FFT算法的谐波检测方法，分别推导了双谱线插值和三谱线插值的算法原理，并对它们进行了复杂谐波信号仿真分析，且考虑了基频变动和白噪声影响两种情况，并对仿真结果进行了分析，验证了所提算法可提高谐波参数检测的精度，并且可有效克服基波频率变动和不同信噪比的白噪声对谐波参数检测的影响；其次，本文分析了加窗相位差FFT算法，提出了基于加4项5阶Nuttall窗相位差FFT算法的谐波检测方法，推导了加窗相位差FFT算法的算法原理，并对其进行了复杂谐波信号仿真分析，且考虑了基频变动、白噪声影响、间谐波影响的情况，并对仿真结果进行了分析，验证了所提算法的有效性和较强的抗干扰能力；最后，本文分析了QuartusII中原理图的各个模块的编写，使用FFTIP核对给定的输入数据进行了ModelSim仿真，并结合MATLAB的仿真结果验证了FFTIP核的ModelSim仿真结果的精度，仿真得到的幅值结果的精度较高，准确度平均可以达到80%以上，尤其在幅值较大时，幅值结果的相对误差不足5%，验证了所设计的原理图的正确性，FFTIP核实现了FFT运算的功能，在一定的误差允许范围内，通过FFTIP核可以实现谐波幅值参数的准确检测。关键词：谐波检测；快速傅里叶变换；多谱线插值；相位差；FFTIP核II ABSTRACTHarmonichasgreatinfluenceonthesafety,stabilityandeconomicoperationofelectricpowersystem,itissignificanttostudytheharmonicproblemsofelectricpowersystem,andharmonicdetectionisthestartingpointandmainbasisforthestudyofharmonicproblems.Amongthemethodsofharmonicdetection,FFTispopularbecauseofitseaseofimplementation,butduetotheinfluenceofspectrumleakageandfenceeffect,FFTwillproducealargeerrorinharmonicdetection,therefore,itisofgreatsignificancetostudytheimprovedalgorithmofFFTandimplementofFFTusinghardware.ThisthesisfirstanalyzestheFFTalgorithmofwindoweddoublelineinterpolationandwindowedthreelineinterpolation,andpresentsmethodsofharmonicdetectionbasedonFFTalgorithmof4items5stepsNuttallwindoweddoublelineinterpolationand4items5stepsNuttallwindowedthreelineinterpolation,furthermore,thisthesisderivesthealgorithmprinciplesofdoublelineinterpolationandthreelineinterpolationseparatelyandmakessimulationanalysisofcomplexharmonicsignal,andthetwocasesoffundamentalfrequencyvariationandwhitenoiseareconsidered.Theanalysisofsimulationresultsshowthattheproposedalgorithmscanimprovetheaccuracyofharmonicdetectionandeffectivelyovercometheinfluenceoffundamentalfrequencyvariationandwhitenoiseofdifferentsignal-to-noiseratioonharmonicparametersdetection.Secondly,thisthesisanalyzestheFFTalgorithmofwindowedphasedifference,andpresentsamethodofharmonicdetectionbasedonFFTalgorithmof4items5stepsNuttallwindowedphasedifference,what’smore,thisthesisderivesthealgorithmprincipleofphasedifferenceandmakessimulationanalysisofcomplexharmonicsignal,andthefundamentalfrequencyvariation,whitenoiseandinterharmonicsareconsidered.Theanalysisofsimulationresultsshoweffectivenessandstronganti-interferenceabilityoftheproposedalgorithm.Intheend,thisthesisanalyzesthepreparationofschematicdiagram’seachmoduleandmakestheModelSimsimulationofgiveninputdatausingFFTIPcore,andtheaccuracyofModelSimsimulationresultsofFFTIPcoreisverifiedcombinedwiththesimulationresultsofMATLAB.Theaccuracyofthesimulationamplituderesultsishigh,andonaverage,itcanreachmorethan80%.Especiallywhentheamplitudeislarge,therelativeerrorofamplituderesultsislessthan5%,andthecorrectnessofthedesigned schematicdiagramisverified.TheFFTIPcoreachievesthefunctionofFFToperation,andwithinacertainrangeoferror,accuratedetectionofharmonicamplitudeparameterscanberealizedbyFFTIPcore.KEYWORDS:Harmonicdetection;FFT;Multispectrallinesinterpolation;Phasedifference;FFTIPcoreIV 目录第一章绪论....................................................................................................................11.1谐波的定义与分类............................................................................................11.2谐波的来源与危害............................................................................................11.3谐波检测的作用与意义....................................................................................21.4谐波检测的研究现状........................................................................................21.4.1基于FFT的谐波检测方法.....................................................................21.4.2基于现代谱估计的谐波检测方法..........................................................31.4.3基于小波变换的谐波检测方法..............................................................31.4.4基于神经网络的谐波检测方法..............................................................31.5本文的主要研究内容........................................................................................4第二章FFT的算法原理...............................................................................................52.1离散傅里叶变换................................................................................................52.2快速傅里叶变换................................................................................................52.2.1基-2DIT-FFT算法...................................................................................52.2.2基-2DIF-FFT算法...................................................................................62.3非同步采样对FFT的影响...............................................................................72.4频谱泄漏与栅栏效应........................................................................................72.5窗函数的特性....................................................................................................72.5.1常用的窗函数..........................................................................................72.5.2窗函数的选择........................................................................................102.6FFT的硬件实现方法.......................................................................................132.6.1FPGA实现FFT......................................................................................132.6.2IP核与FFTIP核简介...........................................................................132.7本章小结..........................................................................................................13第三章加窗多谱线插值FFT算法............................................................................153.1加窗双谱线插值FFT算法的算法原理.........................................................153.2基于加4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法的谐波检测方法............163.2.14项5阶Nuttall窗.................................................................................163.2.2加4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法......................................173.3双谱线插值的复杂谐波信号仿真分析..........................................................183.3.1几种窗函数的双谱线插值7阶逼近式................................................18V 3.3.2双谱线插值的仿真分析........................................................................193.4双谱线插值在基频变动下的仿真分析..........................................................233.5双谱线插值在白噪声影响下的仿真分析......................................................253.6加4项5阶Nuttall窗三谱线插值FFT算法的算法原理............................283.7三谱线插值的复杂谐波信号仿真分析..........................................................293.7.1几种窗函数的三谱线插值7阶逼近式................................................293.7.2三谱线插值的仿真分析........................................................................303.8三谱线插值在基频变动下的仿真分析..........................................................343.9三谱线插值在白噪声影响下的仿真分析......................................................353.10本章小结........................................................................................................38第四章加窗相位差FFT算法....................................................................................404.1加4项5阶Nuttall窗相位差FFT算法的算法原理....................................404.2加窗相位差FFT算法的复杂谐波信号仿真分析.........................................414.3加窗相位差FFT算法在基频变动下的仿真分析.........................................444.4加窗相位差FFT算法在白噪声影响下的仿真分析.....................................464.5加窗相位差FFT算法的复杂间谐波信号仿真分析.....................................494.6本章小结..........................................................................................................52第五章基于FFTIP核的谐波检测方法...................................................................545.1QuartusII中原理图的各个模块的编写..........................................................545.1.1FFTIP模块.............................................................................................545.1.2FFTIP核的时序控制模块.....................................................................545.1.3ROM模块...............................................................................................555.1.4RAM模块和计数器模块.......................................................................555.1.5幅值计算模块........................................................................................565.2FFTIP核的ModelSim仿真............................................................................565.3FFTIP核的ModelSim仿真结果分析............................................................575.4本章小结..........................................................................................................58第六章结论与展望......................................................................................................596.1结论..................................................................................................................596.2展望..................................................................................................................61参考文献........................................................................................................................62攻读硕士学位期间的学术活动及成果情况................................................................66VI 插图清单图2.1几种典型的余弦组合窗的幅频响应曲线......................................................12图3.1双谱线插值基频变动下的频率相对误差......................................................24图3.2双谱线插值基频变动下的幅值相对误差......................................................24图3.3双谱线插值基频变动下的相位相对误差......................................................25图3.4三谱线插值基频变动下的频率相对误差......................................................34图3.5三谱线插值基频变动下的幅值相对误差......................................................34图3.6三谱线插值基频变动下的相位相对误差......................................................35图4.1相位差基频变动下的频率相对误差..............................................................45图4.2相位差基频变动下的幅值相对误差..............................................................45图4.3相位差基频变动下的相位相对误差..............................................................46图5.1包含FFTIP核模块和FFTIP核的时序控制模块的局部原理图...............54图5.2FFTIP核的各个输入输出引脚在Burst工作模式下的时序图...................55图5.3包含ROM模块的局部原理图.......................................................................55图5.4包含RAM模块和计数器模块的局部原理图...............................................56图5.5包含幅值计算模块的局部原理图..................................................................56图5.6FFTIP核的ModelSim仿真结果...................................................................57VII 表格清单表2.1几种余弦组合窗的系数..................................................................................10表2.2几种余弦组合窗的旁瓣特性..........................................................................12表3.1包含18次谐波的信号的基波和各次谐波的参数........................................20表3.2加窗双谱线插值FFT算法的频率相对误差.................................................20表3.3加窗双谱线插值FFT算法的幅值相对误差.................................................21表3.4加窗双谱线插值FFT算法的相位相对误差.................................................22表3.5白噪声影响下的加窗双谱线插值FFT算法的基波频率相对误差.............25表3.6白噪声影响下的加窗双谱线插值FFT算法的基波幅值相对误差.............26表3.7白噪声影响下的加窗双谱线插值FFT算法的基波相位相对误差.............27表3.8加窗三谱线插值FFT算法的频率相对误差.................................................30表3.9加窗三谱线插值FFT算法的幅值相对误差.................................................31表3.10加窗三谱线插值FFT算法的相位相对误差...............................................32表3.11白噪声影响下的加窗三谱线插值FFT算法的基波频率相对误差...........36表3.12白噪声影响下的加窗三谱线插值FFT算法的基波幅值相对误差...........36表3.13白噪声影响下的加窗三谱线插值FFT算法的基波相位相对误差...........37表4.1包含18次谐波的信号的基波和各次谐波的参数........................................41表4.2加窗相位差FFT算法的频率相对误差.........................................................42表4.3加窗相位差FFT算法的幅值相对误差.........................................................43表4.4加窗相位差FFT算法的相位相对误差.........................................................44表4.5白噪声影响下的加窗相位差FFT算法的基波频率相对误差.....................46表4.6白噪声影响下的加窗相位差FFT算法的基波幅值相对误差.....................47表4.7白噪声影响下的加窗相位差FFT算法的基波相位相对误差.....................48表4.8包含间谐波的复杂信号的参数......................................................................49表4.9加窗相位差FFT算法的间谐波频率相对误差.............................................49表4.10加窗相位差FFT算法的间谐波幅值相对误差...........................................50表4.11加窗相位差FFT算法的间谐波相位相对误差...........................................51表5.1仿真FFTIP核的输入数据.............................................................................57表5.2MATLAB和FFTIP核的幅值仿真结果的比较...........................................58VIII 第一章绪论第一章绪论1.1谐波的定义与分类大量的非线性负荷存在在电力系统中，包括容量较大的电力设备、整流设备以及换流设备等，由于这些非线性负荷的存在，靠近负荷端的电压和电流的波形[1-2]会出现畸变，从而使电流和电压的波形不成比例。傅里叶级数理论表明，非线性负荷引起的周期性波形畸变可通过一些量的和来表示，这些量指的是直流分量和一系列频率为基波频率整数倍的正弦波。广义上非基波频率的其它频率分量都[3-4]可以认为是谐波。在实际的工程中，关于谐波问题的描述有：[5]（1）整数次谐波：通常情况下，谐波是整数次谐波的简称，国际电气与电子工程师协会将谐波定义为一个周期电气量的正弦波分量，其频率为基波频率的整数倍。[6]（2）间谐波和次谐波：按照国际电工委员会的定义，间谐波是介于基波和整数次谐波之间的谐波成分，其频率不是基波频率的整数倍；频率比基波频率低的分量称为次谐波。1.2谐波的来源与危害[7-12]在实际的生产生活中，谐波的主要来源有：（1）晶闸管整流设备、电石炉、电弧炉和变频装置等非线性负荷会带来谐波。（2）输配电系统中的电力变压器会产生谐波。变压器铁芯的饱和、磁化曲线的非线性以及工作磁通密度在磁化曲线的近饱和段使变压器会产生谐波，变压器的工作点非线性越严重以及铁芯的饱和程度越高，带来的谐波电流越大。（3）在家用电器中，调压整流装置常常存在，因而会产生谐波，家用电器的功率虽然不大，但数量巨大，是谐波的来源之一。（4）发电机的铁芯很难做到绝对均匀，且发电机的三相绕组也很难保证绝对对称，因而质量不高的发电机会带来谐波。[13-14]电力系统中谐波的危害主要包含以下几个方面：（1）导致电网中的电压和电流波形出现畸变，这样会增加设备的温升，同时会带来附加损耗，使供配电系统的安全稳定运行受到威胁；（2）给计量装置、测量仪表带来误差，使它们的准确度收到影响；（3）给通信系统带来干扰，造成了通信设备的损坏，通信质量也收到了一定的影响；（4）使计算机等电子控制设备由于干扰而产生误动作，影响其正常工作；（5）环境中的高次谐波会对人以及动物的生存带来不良影响；（6）绝缘条件被恶化，因而设备的使用寿命会缩短；（7）1 合肥工业大学硕士学位论文谐波电流可能会由于无功补偿电容器组的影响而被放大，甚至会带来谐振；（8）给电机设备带来机械振动而造成损坏，人身安全也受到了一定的威胁。1.3谐波检测的作用与意义谐波对电力系统的安全、经济、稳定运行会造成影响，影响周边的电气环境，人们逐渐重视电力系统中谐波问题的研究。谐波问题的研究涵盖诸多方面，包括谐波补偿与抑制、谐波检测、谐波源分析等方面。谐波检测是研究谐波问题的出发点和主要依据，谐波检测的作用与意义主要有：1）通过检测谐波源产生的谐波的大小，了解电力系统的运行状况，对电力系统中的设备进行评价；2）可以用来分析电力系统的异常或故障；3）对无功补偿以及谐波的抑制有指导作用，且可以用来对谐波源进行判断；4）检测的结果可以用来评价电能质量；5）可以用来测试电力系统中的谐波谐振、谐波潮流、谐波阻抗等；6）可以用来预报电力系统中[15-17]的故障，为电力系统中故障的处理提供理论依据。1.4谐波检测的研究现状数字信号处理技术的发展带来了多种用于谐波检测的方法，根据检测原理划[18-19][20-21][22-23]分，主要有以下几类：1）快速傅里叶变换；2）瞬时无功功率理论；[24-25][26-27][28][29-30]3）现代谱估计；4）模拟滤波器；5）小波变换；6）支持向量机；[31]7）神经网络。1.4.1基于FFT的谐波检测方法快速傅里叶变换（FFT）广泛应用于电力系统中的谐波检测，但由于电网基波频率存在波动性，且周围环境存在噪声干扰，很难做到同步采样，从而造成频谱泄漏和栅栏效应，影响FFT的谐波检测精度。为降低FFT的谐波检测误差，研究人员提出了多种改进方法。（1）加窗插值FFT算法国内外学者设计了很多不同种类的窗函数来抑制频谱泄漏，包括矩形窗、三角窗、余弦组合窗等，所选取的窗函数的性能越优良，其抑制频谱泄漏的能力越强；另外，研究人员利用一系列对加窗后的离散频谱进行插值的算法来减小栅栏效应的影响，这些插值算法包括双谱线插值算法、三谱线插值算法等，利用插值算法对计算结果进行修正，从而大大提高谐波参数检测的精度。加窗插值FFT算法将某种窗函数与被测函数在时域上相乘，且利用信号真实频率附近的几条谱线[32-35]的信息进行插值运算，从而高精度地检测出谐波信号的参数。（2）加窗相位差FFT算法加窗相位差FFT算法利用离散频谱的相位差信息来校正基波与各次谐波的参数。该方法首先将原始信号采集成两段长度相同的序列，然后分别对这两个序列2 第一章绪论进行加窗处理和FFT运算，根据得到的两个离散频谱的相位差进行校正，得到频率偏移校正量，最后结合所选取的窗函数的频谱特性以及频率偏移校正量来获取基波与各次谐波的频率、幅值和相位信息。加窗相位差FFT算法不依赖所选取的窗函数的表达式，直接利用离散频谱的相位差对谐波参数进行校正，计算量较小，[36-37]且具有很高的准确度。1.4.2基于现代谱估计的谐波检测方法在电力系统中，电压和电流信号如果是正弦形式的，那么可以用被噪声淹没的平稳的随机序列来表示，现代谱估计方法是对随机序列进行研究，因而可以用来检测谐波参数。现代谱估计方法对加窗后的信号进行外推或预测，结合信号自身的一些特点，可以使谱的真实程度和分辨率得到提高。现代谱估计方法包括Prony法以及互高阶累积量的多重信号分类法等。Prony法利用指数函数的线性组合的数学模型来描述等间距采样的数据，可以高精度地检测出谐波信号中各分量的参数。互高阶累积量的多重信号分类法在采用互高阶谱理论的基础上对信号进行奇异值分解，将观测空间分成信号子空间与噪声子空间，这两个子空间是正交的，噪声子空间的基可以用来进行谐波参数的检测，这样的谐波检测方法不需要对数据进行整数周期的采样，同时可以在一定程度上抑制噪声，在数据较少、频[38-39]段为低频段的条件下，分辨率和稳定性较高。1.4.3基于小波变换的谐波检测方法小波变换是一种局部化的时频分析方法，它的窗口面积是固定的，但频率窗和时间窗都可以发生改变，在低频的情况下，频率分辨率较高，时间分辨率较低；在高频的情况下，时间分辨率较高，频率分辨率较低。频带的含义在小波变换的尺度因子中有所体现，大的尺度与信号的低频信息对应，小的尺度与信号的高频信息对应。使用小波变换处理电压和电流信号，不断地滤除频率较高的分量，整个过程结束时即可得到谐波信号各分量的参数，这样就实现了对谐波参数的检测。高次谐波被小波变换投影到一些不同的尺度上，从而可以明显地反应高频信号的[40]特点，另外，小波包可以进一步细分频率空间，使谐波检测获得了可靠的依据。1.4.4基于神经网络的谐波检测方法神经网络具有对任意连续函数进行学习和逼近的能力，因而可以用于谐波检测。该方法构造多层前馈神经网络，对谐波的测量电路进行构建，主要涉及到算法选择、网络构建和样本确定几个方面。目前有基于自适应神经元、基于多层前馈神经网络等几种方法用于谐波检测，神经网络的理论在不断发展，其在电力系统中的应用不断加深，从目前来讲，应用神经网络进行谐波检测还需要进一步的[41]研究。3 合肥工业大学硕士学位论文1.5本文的主要研究内容谐波检测在谐波问题中占有重要的地位，谐波问题的研究以谐波检测为出发点，谐波检测的结果是研究谐波问题的主要依据。在谐波检测的众多方法中，FFT由于其易于实现而颇受青睐，但频谱泄漏和栅栏效应使FFT在进行谐波检测时会产生很大的误差，因而研究FFT的改进算法以及在硬件中实现FFT运算具有十分重要的意义。本文一共分为6章，每一章的主要研究内容如下：第1章为绪论章节，一方面介绍了谐波的相关情况，包括谐波的定义与分类、谐波的来源与危害；另一方面介绍了谐波检测的相关情况，包括谐波检测的作用与意义、谐波检测的研究现状。第2章为FFT的算法原理章节，主要介绍了FFT的相关情况，推导了以2为基的FFT算法的原理，分析了非同步采样对FFT的影响，介绍了常用的窗函数以及窗函数的选择标准，最后介绍了FFT的硬件实现方法以及FFTIP核的相关情况。第3章为加窗多谱线插值FFT算法章节，主要分析了加窗双谱线插值FFT算法以及加窗三谱线插值FFT算法，提出了基于加4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法和加4项5阶Nuttall窗三谱线插值FFT算法的谐波检测方法，分别推导了双谱线插值和三谱线插值的算法原理，并对它们进行了复杂谐波信号仿真分析，且考虑了基频变动和白噪声影响两种情况，并对仿真结果进行了分析。第4章为加窗相位差FFT算法章节，主要分析了加窗相位差FFT算法，提出了基于加4项5阶Nuttall窗相位差FFT算法的谐波检测方法，推导了加窗相位差FFT算法的算法原理，并对其进行了复杂谐波信号仿真分析，且考虑了基频变动、白噪声影响、间谐波影响的情况，并对仿真结果进行了分析。第5章为基于FFTIP核的谐波检测方法章节，主要分析了QuartusII中原理图的各个模块的编写，使用FFTIP核对给定的输入数据进行了ModelSim仿真，并结合MATLAB的仿真结果验证了FFTIP核的ModelSim仿真结果的精度。第6章为结论与展望章节，总结了本论文主要完成的工作，指出了本论文的一些不足以及需要进一步研究的工作。4 第二章FFT的算法原理第二章FFT的算法原理快速发展的计算机技术使得数字信号处理的应用更加广泛，各个学科领域中不难发现数字信号处理的身影。离散傅里叶变换（DFT）是数字信号处理中应用最广泛的离散变换，卷积、滤波、相关等算法都可以由DFT来实现，DFT在理论上为离散信号的分析提供了变换工具，但是DFT的缺点很明显，其计算量大，难以实现，很难应用到实际当中。FFT（FastFourierTransformation），即为快速傅里叶变换，是DFT的有效实现。2.1离散傅里叶变换求有限长序列x(n)的N点DFT为N1j2nkN1X(k)=DFT[x(n)]=x(n)eN=nkx(n)WN（2.1）n0n02j其中，WeN，k0,1,2,,N1。N2.2快速傅里叶变换FFT是数字信号处理的核心技术，其获得了广泛的应用。FFT的基本思想是将大点数的DFT进行分解，从而得到若干个小点数的DFT，这样可以大大减少计算机计算DFT时所需要的乘法次数，且被变换的DFT的点数越多，FFT算法所减少的计算量就越显著，可以使DFT的运算时间缩短几个数量级。FFT的算法包括时域抽取法（Decimation-In-Time,DIT）和频域抽取法（Decimation-In-Frequency,DIF），FFT的基的种类有多种，如基-2、基-3等，且FFT可以由多种快速算法的组合来实现，如时域/频域抽取法、矢量法、分裂基、[42]矢量分裂基、混合基等方法。下面具体分析基-2DIT-FFT算法和基-2DIF-FFT算法。2.2.1基-2DIT-FFT算法该算法的基本思想是将待计算的序列持续进行一分为二的分解，设原序列为N点，首先将原序列分解为两个N/2点序列，进而通过计算两个N/2点序列的DFT得到原N点序列的DFT，这样可以节省一些算数运算，而更多地节省来自于继续将N/2点序列分解为两个N/4点序列，然后通过计算两个N/4点序列的DFT得到原N/2点序列的DFT，重复这一过程直到分解为2点序列为止，算法原理如下N1nknknkX(k)=x(n)WN=x(n)WN+x(n)WNn0n偶整数n奇整数5 合肥工业大学硕士学位论文NNNN111122222rk(2r1)k2rkk2rk=x(2r)WN+x(2r1)WN=x(2r)WN+WNx(2r1)WN（2.2）r0r0r0r0NN1122rkkrkk=x(2r)WN+WNx(2r1)WN=X1(k)WNX2(k)，其中k0,1,2,,N1。r02r02这样，一个N点DFT已分解成两个N/2点的DFT。2.2.2基-2DIF-FFT算法基-2DIF-FFT算法与基-2DIT-FFT算法类似，区别在于该算法是基于DIF分解的，基-2DIT-FFT算法是基于DIT分解的，算法原理如下N1N12N1nknknkX(k)=x(n)WN=x(n)WN+x(n)WN，其中k0,1,2,,N1。n0n0Nn2NN11N1N22N(mN)k令x(n)Wnk中nm，原式=x(n)Wnk+x(m)W2（2.3）NNNN2n0m02n2NNNN111122NNk2Nk2N=x(n)Wnk+x(n)W2Wnk=x(n)Wnk+W2x(n)WnkNNNNNNn0n02n0n02N12Nknk=[x(n)(1)x(n)]WNn02N其中W21，对于偶数k2r和奇数k2r1，原式可简化为NNN112N2N2nrn2nrX(2r)=[x(n)x(n)]WN；X(2r1)=[x(n)x(n)]WNWNn02n02j2nrj22nrN2nreNe2nr又因为W===W，因此NN2N12NNnrX(2r)=[x(n)x(n)]WN，X(2r)为[x(n)x(n)]的N/2点DFT；类似n0222Nn地X(2r1)为[x(n)x(n)]W的N/2点DFT。这样，计算N点DFT可以通过N2计算两个N/2点DFT实现。具体采用哪种算法，与N的值有关，若N等于2的m次方，且m为整数，以2为基较方便，其它的情况类似。有时还需要将几种算法混合在一起使用，当6 第二章FFT的算法原理然有时还需要一些更复杂的算法。2.3非同步采样对FFT的影响设采样频率为f，采样点数为N，频率分辨率f为采样频率与采样点数的sfs比值，即f，若信号频率是频率分辨率的整数倍，则为同步采样，否则为非N同步采样。在同步采样的情况下，FFT可以准确地计算出谐波信号的参数，而在非同步采样的情况下，由于频谱泄漏和栅栏效应的影响，FFT会产生很大的误差。2.4频谱泄漏与栅栏效应在非同步采样的情况下，谐波信号通过FFT得到的频谱不只是在信号的频率分量处有离散谱线，而是在以信号的频率分量为中心的频率范围内都有谱线出现，信号频率分量外的谱线可以理解为是从信号频率分量处泄漏出去的，这一现象被称为频谱泄漏；此时，各离散谱线所对应的频率与信号的频率分量存在偏差，只能根据邻近的离散谱线的信息估计真实频率分量的参数，这一现象被称为栅栏效[43-44]应。2.5窗函数的特性实际检测谐波信号时，使用窗函数将信号进行截断必不可少，窗函数的性能与频谱泄漏和栅栏效应息息相关，从而很大程度上影响到谐波参数检测的精度，应根据信号特征和研究目的来选择窗。2.5.1常用的窗函数在加窗FFT中，常用的窗函数有Hanning窗、Hamming窗、Blackman窗、[45-48]Blackman-Harris窗、Nuttall窗、Rife-Vincent窗等。2.5.1.1Hanning窗Hanning窗也称为升余弦窗，长度为N的离散Hanning窗的时域表达式为2w(n)0.50.5cos(n),n1,2,,N1（2.4）N其连续傅里叶变换（DTFT）为22W0.5W()0.25W()W()（2.5）RRNRNNwsinN1jw式中：W()为矩形窗的频谱函数，W(w)2e2。RRwsin22.5.1.2Hamming窗7 合肥工业大学硕士学位论文Hamming窗也称为改进的升余弦窗，长度为N的离散Hamming窗的时域表达式为2w(n)0.540.46cos(n),n1,2,,N1（2.6）N其DTFT为22W0.54W()0.23W()W()（2.7）RRNRN式中：W()为矩形窗的频谱函数。R2.5.1.3Blackman窗长度为N的离散Blackman窗的时域表达式为24w(n)0.420.5cos(n)0.08cos(n),n1,2,,N1（2.8）NN其DTFT为22W0.42W()0.25W()W()RRNRN（2.9）440.04W()W()RNRN式中：W()为矩形窗的频谱函数。R2.5.1.4Blackman-Harris窗长度为N的离散4项Blackman-Harris窗的时域表达式为24w(n)0.358750.48829cos(n)0.14128cos(n)NNn1,2,,N1（2.10）60.01168cos(n),N其DTFT为22W0.35875W()0.244145W()W()RRNRN440.07064W()W()（2.11）RNRN660.00584W()W()RNRN式中：W()为矩形窗的频谱函数。R8 第二章FFT的算法原理2.5.1.53项1阶Nuttall窗长度为N的离散3项1阶Nuttall窗的时域表达式为24w(n)0.408970.5cos(n)0.09103cos(n),n1,2,,N1（2.12）NN其DTFT为22W0.40897W()0.25W()W()RRRNN（2.13）440.045515W()W()RRNN式中：W()为矩形窗的频谱函数。R2.5.1.64项3阶Nuttall窗长度为N的离散4项3阶Nuttall窗的时域表达式为24w(n)0.3389460.481973cos(n)0.161054cos(n)NNn1,2,,N1（2.14）60.018027cos(n),N其DTFT为22W0.338946W()0.2409865W()W()RRNRN440.080527W()W()（2.15）RNRN660.0090135W()W()RNRN式中：W()为矩形窗的频谱函数。R2.5.1.74项5阶Nuttall窗长度为N的离散4项5阶Nuttall窗的时域表达式为24w(n)0.31250.46875cos(n)0.1875cos(n)NNn1,2,,N1（2.16）60.03125cos(n),N其DTFT为9 合肥工业大学硕士学位论文22W0.3125W()0.234375W()W()RRRNN440.09375W()W()（2.17）RRNN660.015625W()W()RRNN式中：W()为矩形窗的频谱函数。R2.5.1.84项Rife-Vincent（Ⅰ）窗长度为N的离散4项Rife-Vincent（Ⅰ)窗的时域表达式为246w(n)11.5cos(n)0.6cos(n)0.1cos(n),n1,2,,N1（2.18）NNN其DTFT为22WW()0.75W()W()RRNRN（2.19）44660.3W()W()0.05W()W()RNRNRNRN式中：W()为矩形窗的频谱函数。R2.5.2窗函数的选择常用的几种余弦组合窗的系数见表2.1所列表2.1几种余弦组合窗的系数Tab2.1Thecoefficientsofseveralcosinecompositewindows系数a0a1a2a3Hanning窗0.50.5——Hamming窗0.540.46——3项1阶Nuttall窗0.408970.50.09103—3项3阶Nuttall窗0.3750.50.125—4项1阶Nuttall窗0.3557680.4873960.1442320.0126044项3阶Nuttall窗0.3389460.4819730.1610540.0180274项5阶Nuttall窗0.31250.468750.18750.031253项最低旁瓣Nuttall窗0.42438010.49734060.0782793—4项最低旁瓣Nuttall窗0.36358190.48917750.13659950.010641110 第二章FFT的算法原理3项Rife-Vincent（Ⅰ）窗11.333330.33333—3项Rife-Vincent（Ⅲ）窗11.196850.19685—4项Rife-Vincent（Ⅰ）窗11.50.60.14项Rife-Vincent（Ⅲ）窗11.435960.497540.06158Blackman窗0.420.50.08—Blackman-Harris窗0.358750.488290.141280.01168几种典型的长度N=128的余弦组合窗的幅频响应曲线如图2.1所示(a)Hanning窗(b)Blackman窗(a)Hanningwindow(b)Blackmanwindow(c)Blackman-Harris窗(d)3项1阶Nuttall窗(c)Blackman-Harriswindow(d)3items1stepNuttallwindow(e)3项3阶Nuttall窗(f)4项1阶Nuttall窗(e)3items3stepsNuttallwindow(f)4items1stepNuttallwindow11 合肥工业大学硕士学位论文(g)4项3阶Nuttall窗(h)4项5阶Nuttall窗(g)4items3stepsNuttallwindow(h)4items5stepsNuttallwindow图2.1几种典型的余弦组合窗的幅频响应曲线Fig2.1Theamplitude-frequencyresponsecurvesofseveraltypicalcosinecompositewindows常用的几种余弦组合窗的旁瓣特性见表2.2所列表2.2几种余弦组合窗的旁瓣特性Tab2.2Thesidelobecharacteristicsofseveralcosinecompositewindows渐近衰减速率窗的类型旁瓣峰值电平/dB-1/(dB·oct)Hanning窗-3118Hamming窗-4363项1阶Nuttall窗-64183项3阶Nuttall窗-47304项1阶Nuttall窗-93184项3阶Nuttall窗-83304项5阶Nuttall窗-61423项最低旁瓣Nuttall窗-7164项最低旁瓣Nuttall窗-9863项Rife-Vincent（Ⅰ）窗-49183项Rife-Vincent（Ⅲ）窗-6064项Rife-Vincent（Ⅰ）窗-61184项Rife-Vincent（Ⅲ）窗-7412Blackman窗-5918Blackman-Harris窗-926加窗可以有效地减小频谱泄漏，因此窗函数的选择直接关系到FFT的谐波参数检测精度。窗函数的性能指标主要包括主瓣宽度、旁瓣渐近衰减速率以及旁瓣12 第二章FFT的算法原理峰值电平。在频域中，原点两侧的距离最近的两个零值点之间的距离被称为主瓣宽度，主瓣影响的是频率分辨率，主瓣越窄，频率分辨率越高。各个窗函数的旁瓣电平的下降速度有快慢之分，这一特点由旁瓣渐近衰减速率来反映，旁瓣渐近衰减越快，对频谱泄漏的抑制能力越强。离主瓣最近的最大旁瓣的电平被称为旁瓣峰值电平，旁瓣影响的是频谱泄漏，旁瓣越大，频谱泄漏越多。采用主瓣窄、旁瓣渐近衰减快、旁瓣峰值电平小的窗函数对信号进行处理，可以提高FFT的谐波参数检测精度，此外，窗函数越简单，实际的谐波检测中的频谱校正算法的运算量就越小，因此，在实际信号处理中应根据实际情况选择窗函数，从而使信号[49-50]处理的效果达到最好。2.6FFT的硬件实现方法通过软件以及硬件都可以实现FFT算法，软件是通过调用数学函数的方式来实现，不具有高速型和实时性，硬件主要是通过现场可编程门阵列（FPGA）、专[51-52]用芯片（ASIC）和数字信号处理器（DSP）来实现。2.6.1FPGA实现FFTFPGA（FieldProgrammableGateArray，现场可编程门阵列）是在PAL、GAL、CPLD等可编程器件的基础上进一步发展的产物。在专用集成电路领域中，FPGA是作为一种半定制电路而出现的，既克服了原有可编程器件门电路数有限的缺点，又解决了定制电路的不足。近几年，随着计算机并行技术和FPGA技术的迅速发展，采用灵活性高、速度快的FPGA来实现具有并行特征的FFT算法，已成为国[53-55]内外研究的热点。2.6.2IP核与FFTIP核简介IP核（IntellectualPropertyCore，知识产权核）的使用是现代数字系统设计中最有效的方法之一。IP核有时也称为宏功能模块，是将一些在数字电路中常用但比较复杂的功能模块设计成可修改参数的模块，让其他用户可以直接调用这些[56-57]模块，以避免重复劳动。大多数FPGA厂商都提供FFTIP核，Altera公司将其IP模块称为MegaCore，FFTMegaCore是Altera公司提供的一个参数化的模块，经过使用者的二次开发设计，就可以完成FFT的计算，FFTMegaCore非常适合在FPGA上实现，而且在参数化方面提供了最大的灵活性，可通过QuartusII软件调[58-60]用。2.7本章小结本章首先介绍了FFT的相关情况，推导了以2为基的FFT算法的原理，分析了频谱泄漏和栅栏效应对FFT的影响；然后列出了几种常用窗函数的时频域表达13 合肥工业大学硕士学位论文式，且比较了它们的旁瓣特性，说明了选择窗函数的标准；最后分析了FFT的硬件实现方法以及FFTIP核应用于谐波检测的相关情况。14 第三章加窗多谱线插值FFT算法第三章加窗多谱线插值FFT算法在实际的谐波信号检测中，同步采样很难实现，在非同步采样的情况下，由于频谱泄漏和栅栏效应的影响，FFT得到的谐波信号的频率、幅值和相位会有很大的误差。加窗多谱线插值FFT算法可以减小频谱泄漏和栅栏效应所带来的误差，从而大大提高谐波检测的精度。3.1加窗双谱线插值FFT算法的算法原理单一频率时域信号x(t)以采样频率f均匀采样得到的离散信号为sf0x(n)Asin(2n)（3.1）00fs式中：A、f、分别为信号的频率、幅值、相位。000对信号x(n)加矩形窗w(n)相当于与w(n)相乘，得到加窗后的信号x(n)为RRwx(n)x(n)w(n)（3.2）wRx(n)的连续傅里叶变换为wj2nfXw(f)x(n)wR(n)eA0j02(ff0)j02(ff0)=[eW()eW()]（3.3）RR2jffssN1sinNf/2jf式中，W()为矩形窗的频谱函数，W(f)e2。RRsinf/2对式（3.3）进行离散抽样，并忽略负频点处频峰的旁瓣影响，得到加窗后的信号x(n)的离散傅里叶变换为wA0j02(kff0)X(kf)eW[]（3.4）R2jfs式中，f为频率分辨率，ff/N，N为数据截断长度；k为抽样频点的序号。s在非同步采样的情况下，信号的频率fkf不处于各个离散谱线所对应00的频率上，设信号的频点k附近幅值最大和次最大的谱线分别为k和k，且012kkk(k1)，这两条谱线的幅值分别为tX(kf)、tX(kf)，设1021112215 合肥工业大学硕士学位论文tt21、kk0.5，可知的取值范围为(0.5,0.5)，由式（3.4）可得01tt212(0.5)2(0.5)W()W()RRNN（3.5）2(0.5)2(0.5)W()W()RRNN1记式（3.5）为l()，其反函数记为l()。利用MATLAB中的曲线1拟合函数polyfit函数进行多项式拟合逼近，可得l()逼近式为L()，由可求出参数，则频率修正公式为fkf(k0.5)f（3.6）001幅值修正是对k和k两根谱线进行加权平均，其计算公式为122(kk)2(kk)1020AW()AW()1R2RNNA02(kk)2(kk)1020W()W()RRNN2(tt)12（3.7）2(0.5)2(0.5)W()W()RRNN由式（3.4）可得相位修正公式为2(0.5)0arg[X(k1f)]argWR[]（3.8）2N3.2基于加4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法的谐波检测方法3.2.14项5阶Nuttall窗4项5阶Nuttall窗是一种余弦组合窗，长度为N的离散4项5阶Nuttall窗的时域表达式为3m2mw(n)(1)amcos(n)（3.9）m0N式中：n1,2,,N1；a0.3125，a0.46875，a0.1875，a0.03125，012233mam满足约束条件：am1，(1)am0。m0m0由式（3.9）可得4项5阶Nuttall窗的DTFT为16 第三章加窗多谱线插值FFT算法3mam2m2mW(w)(1)[WR(w)WR(w)]（3.10）m02NNNwsinN1jw式中：W()为矩形窗的频谱函数，W(w)2e2。RRwsin2采用加窗插值FFT算法进行谐波分析时，旁瓣峰值电平小且渐近衰减快的窗函数能有效地抑制频谱泄漏的影响，提高谐波检测的精度。Hanning窗的旁瓣峰值电平为-31dB,旁瓣渐近衰减速率为18dB/oct；Blackman窗的旁瓣峰值电平为-59dB,旁瓣渐近衰减速率为18dB/oct；Blackman-Harris窗的旁瓣峰值电平为-92dB,旁瓣渐近衰减速率为6dB/oct；3项1阶Nuttall窗的旁瓣峰值电平为-64dB,旁瓣渐近衰减速率为18dB/oct；4项3阶Nuttall窗的旁瓣峰值电平为-83dB,旁瓣渐近衰减速率为30dB/oct；4项5阶Nuttall窗的旁瓣峰值电平为-61dB,旁瓣渐近衰减速率达到了42dB/oct，具有较理想的旁瓣特性。3.2.2加4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法实际电力系统的谐波信号往往含有多个频率分量，含有多个频率分量的时域信号x(t)以采样频率f均匀采样得到的离散信号为sI2ifn1x(n)Aisin(i)（3.11）i1fs式中：i为谐波次数；f为基波频率；if、A、分别为第i次谐波的频率、幅值、11ii相位；f为采样频率；n0,1,,N1。s用4项5阶Nuttall窗w(n)对式（3.11）的信号x(n)进行加窗处理，得到加窗后信号的离散傅里叶变换为IX(kf)AiejiW[2(kfif1)]（3.12）i12jfs式中：W()是4项5阶Nuttall窗w(n)的频谱函数。在非同步采样的情况下，第i次谐波的频率ifkf不处于各个离散谱线所1i对应的频率上，设信号的频点k附近幅值最大和次最大的谱线分别为k和k，且ii1i2kkk(k1)，这两条谱线的幅值分别为tX(kf)、tX(kf)，i1ii2i11i12i2tt21设、kk0.5，可知的取值范围为(0.5,0.5)，由式（3.12）可ii1tt21得17 合肥工业大学硕士学位论文2(0.5)2(0.5)W()W()NN（3.13）2(0.5)2(0.5)W()W()NN1记式（3.13）为l()，其反函数记为l()。利用多项式拟合逼近，1可得l()逼近式为L()，由可求出参数，则第i次谐波的频率修正公式为fkf(k0.5)f（3.14）iii1第i次谐波的幅值修正是对k和k两根谱线进行加权平均，其计算公式为i1i22(kk)2(kk)i1ii2iAW()AW()i1i2NNAi2(kk)2(kk)i1ii2iW()W()NN2(tt)12（3.15）2(0.5)2(0.5)W()W()NN当N值较大时，式（3.15）可简化为1AN(tt)h()（3.16）i12利用多项式拟合逼近，可得A的逼近式为i1AN(tt)m()（3.17）i12由式（3.6）可得第i次谐波的相位修正公式为2(0.5)iarg[X(ki1f)]argW[]（3.18）2N3.3双谱线插值的复杂谐波信号仿真分析3.3.1几种窗函数的双谱线插值7阶逼近式利用MATLAB中的曲线拟合函数polyfit函数进行多项式拟合逼近，求出多项式L()和m()的系数，几种窗函数的L()和m()的双谱线插值7阶逼近式结果如下Hanning窗的双谱线插值7阶逼近式为23L()1.500000000000001-0.000000000000004-0.000000000000019456+0.000000000000168-0.000000000000288-0.0000000000012977+0.000000000004958（3.19）18 第三章加窗多谱线插值FFT算法24m()2.35619414736188+1.15542645911931+0.3262063811247336+0.0785350697830416（3.20）Blackman窗的双谱线插值7阶逼近式为35L()1.96043163808004+0.152772614863161+0.07428059277685817+0.0497706035536188（3.21）24m()2.70205778042487+1.07114742029016+0.2336640108812036+0.0400433044400166（3.22）Blackman-Harris窗的双谱线插值7阶逼近式为35L()2.61979084530612+0.286567582707395+0.1283009415155467+0.0803070352355085（3.23）24m()3.06539676829626+0.965566610184241+0.1634131926237516+0.0208232940185814（3.24）3项1阶Nuttall窗的双谱线插值7阶逼近式为35L()2.062605250230053+0.167508238337324+0.0769124389272217+0.0485926584244420（3.25）24m()2.75787310348559+1.05145927718528+0.2198487916812596+0.0358906164070819（3.26）4项3阶Nuttall窗的双谱线插值7阶逼近式为35L()2.95494503759068+0.176751391232065+0.08976642336546647+0.0568279130859242（3.27）24m()3.20975635139277+0.919179565838797+0.1418937244960656+0.0164818456644640（3.28）4项5阶Nuttall窗的双谱线插值7阶逼近式为23L()3.500000000000023-0.000000000000001-0.000000000010390456+0.000000000002120+0.000000001321787-0.0000000001091577-0.000000044662287（3.29）24m()3.43611694388571+0.854651507293548+0.1149051635172776+0.0116102183045069（3.30）3.3.2双谱线插值的仿真分析采用包含18次谐波的复杂信号在MATLAB中进行仿真，信号模型如下18f1x(n)Aisin(2ini)（3.31）i1fs式中：基波频率f50.1Hz；采样频率f2800Hz；数据长度N1024；基波和1s19 合肥工业大学硕士学位论文各次谐波的幅值A和相位在表3.1中给出。所选取的信号模型是包含多次谐波ii的复杂信号，在进行离散傅里叶变换时，各次谐波之间产生的泄漏干扰会对谐波参数检测的精度产生影响，尤其是幅值较小的谐波分量，很容易被邻近的幅值较大的谐波分量的泄漏量所湮没，从而极大地影响谐波参数检测的精度，信号模型中，第14、16、18次谐波的幅值选取的较小，这几次谐波的参数检测受到了邻近的谐波分量很大的干扰。仿真过程中，信号模型x(n)分别加Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗、4项5阶Nuttall窗进行双谱线插值FFT仿真，所得到的频率、幅值、相位的相对误差仿真结果见b表3.2、表3.3、表3.4所列，其中aeb代表a10。表3.1包含18次谐波的信号的基波和各次谐波的参数Tab3.1Thefundamentalandeachharmonicparametersofsignalcontaining18harmonicsi123456789A/V2205.893.752.33.51.82.6i/()0.94150.77946.829-816345.2ii101112131415161718A/V0.91.20.80.750.220.090.60.06i/()-175.14910.3342347.9-5279i表3.2加窗双谱线插值FFT算法的频率相对误差%Tab3.2TherelativeerroroffrequencyofwindoweddoublelinesinterpolationFFTalgorithm谐波次数123456窗函数类型Hanning2.3e-51.5e-34.3e-41.1e-4-3.5e-5-1.7e-4Blackman1.2e-57.8e-42.3e-45.9e-5-1.8e-5-8.7e-5Blackman-Harris-4.7e-6-1.2e-4-1.0e-4-2.2e-5-4.3e-5-1.2e-43项1阶Nuttall1.0e-56.3e-41.8e-44.7e-5-1.5e-5-7.0e-54项3阶Nuttall-4.3e-8-1.3e-5-7.3e-7-1.5e-64.9e-72.1e-64项5阶Nuttall-2.9e-108.9e-7-1.5e-81.1e-7-3.5e-8-1.5e-7谐波次数789101112窗函数类型Hanning-2.2e-51.0e-4-3.8e-55.1e-5-5.9e-63.6e-6Blackman-1.2e-55.6e-5-2.0e-52.7e-5-3.1e-61.9e-6Blackman-Harris1.5e-5-4.5e-5-4.6e-59.8e-53.1e-5-7.9e-520 第三章加窗多谱线插值FFT算法3项1阶Nuttall-9.3e-64.5e-5-1.6e-52.2e-5-2.5e-61.5e-64项3阶Nuttall2.8e-7-1.0e-64.5e-7-5.6e-75.9e-83.2e-84项5阶Nuttall-2.3e-87.5e-8-3.3e-83.9e-8-4.5e-9-1.7e-9谐波次数131415161718窗函数类型Hanning5.0e-61.0e-4-2.6e-62.0e-4-5.5e-73.1e-4Blackman2.6e-65.5e-5-1.4e-61.0e-4-2.86e-71.6e-4Blackman-Harris7.7e-57.0e-5-1.1e-54.3e-45.1e-5-5.0e-43项1阶Nuttall2.1e-64.4e-5-1.1e-68.3e-5-2.2e-71.3e-44项3阶Nuttall-1.4e-7-1.1e-62.8e-8-2.2e-62.1e-8-3.1e-64项5阶Nuttall1.1e-87.9e-8-2.0e-91.6e-7-2.2e-92.3e-7由表3.2可以得到，加Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗、4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法都可以高精度地检测出各次谐波的频率参数，其中加4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法的频率检测精度最高，它的各次谐波的频率检测相对误差平均可以达到7910%~10%，比Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗平均高约1~4个数量级。在弱幅值谐波的频率参数检测方面，加4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法同样具有很好的性能，以第16次弱幅值谐波为例，加4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法的频率检测相对误差7为1.610%，比Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗高约1~3个数量级，有效地抑制了弱幅值谐波邻近的谐波分量的干扰，提高了弱幅值谐波的频率参数检测精度。表3.3加窗双谱线插值FFT算法的幅值相对误差%Tab3.3TherelativeerrorofamplitudeofwindoweddoublelinesinterpolationFFTalgorithm谐波次数123456窗函数类型Hanning-7.3e-55.4e-31.0e-2-9.9e-4-6.2e-5-7.3e-3Blackman-3.3e-52.3e-34.5e-3-4.4e-4-3.4e-5-3.1e-3Blackman-Harris1.1e-5-5.0e-4-1.6e-32.5e-4-2.5e-4-3.8e-33项1阶Nuttall-2.6e-51.8e-33.5e-3-3.4e-4-2.7e-5-2.4e-34项3阶Nuttall1.2e-6-1.7e-5-9.1e-68.7e-66.4e-75.3e-54项5阶Nuttall6.2e-71.1e-66.2e-71.2e-72.4e-7-2.5e-6谐波次数789101112窗函数类型Hanning3.5e-46.9e-4-2.3e-3-2.9e-3-4.2e-5-1.6e-421 合肥工业大学硕士学位论文Blackman1.5e-43.1e-4-9.8e-4-1.2e-3-1.7e-5-5.7e-5Blackman-Harris-3.2e-4-3.4e-4-1.9e-3-3.2e-31.7e-4-4.0e-33项1阶Nuttall1.2e-42.4e-4-7.5e-4-9.6e-4-1.4e-5-4.1e-54项3阶Nuttall-2.0e-6-2.8e-61.5e-51.9e-5-5.8e-74.0e-64项5阶Nuttall3.9e-7-8.6e-8-9.7e-7-1.3e-6-4.5e-7-9.3e-7谐波次数131415161718窗函数类型Hanning-5.5e-42.2e-3-2.2e-4-1.7e-2-4.9e-52.5e-2Blackman-2.3e-49.0e-4-9.3e-5-7.4e-3-1.9e-51.1e-2Blackman-Harris-3.6e-32.4e-4-6.2e-4-2.7e-2-2.2e-4-3.2e-23项1阶Nuttall-1.7e-46.8e-4-7.2e-5-5.7e-3-1.5e-58.4e-34项3阶Nuttall6.6e-6-1.9e-51.5e-81.1e-4-9.6e-7-1.3e-44项5阶Nuttall-1.1e-68.5e-7-7.5e-7-7.1e-6-5.7e-76.8e-6由表3.3可以得到，加Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗、4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法都可以高精度地检测出各次谐波的幅值参数，其中加4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法的幅值检测精度最高，它的各次谐波的幅值检测相对误差平均可以达到6710%~10%，比Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗平均高约1~4个数量级。在弱幅值谐波的幅值参数检测方面，加4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法同样具有很好的性能，以第16次弱幅值谐波为例，加4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法的幅值检测相对误差6为7.110%，比Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗高约1~3个数量级，有效地抑制了弱幅值谐波邻近的谐波分量的干扰，提高了弱幅值谐波的幅值参数检测精度。表3.4加窗双谱线插值FFT算法的相位相对误差%Tab3.4TherelativeerrorofphaseofwindoweddoublelinesinterpolationFFTalgorithm谐波次数123456窗函数类型Hanning-1.3e-1-5.7e-1-9.2e-2-2.6e-25.7e-36.5e-2Blackman-6.3e-2-2.6e-1-4.7e-2-1.3e-23.8e-34.2e-2Blackman-Harris2.2e-21.2e-21.9e-26.5e-31.8e-28.4e-23项1阶Nuttall-5.0e-2-2.0e-1-3.8e-2-1.0e-23.1e-33.4e-24项3阶Nuttall2.5e-43.8e-31.7e-42.5e-4-1.6e-4-1.2e-34项5阶Nuttall-2.0e-6-2.6e-41.5e-6-1.9e-51.2e-59.5e-522 第三章加窗多谱线插值FFT算法谐波次数789101112窗函数类型Hanning-7.3e-3-4.3e-22.0e-21.2e-1-9.8e-3-1.8e-2Blackman-3.7e-3-2.3e-21.1e-26.2e-21.4e-3-7.1e-3Blackman-Harris6.0e-32.2e-23.1e-22.0e-1-1.7e-16.7e-23项1阶Nuttall-3.0e-3-1.8e-29.2e-34.9e-22.0e-3-5.4e-34项3阶Nuttall8.1e-54.2e-4-2.7e-4-1.2e-3-1.6e-44.7e-54项5阶Nuttall-6.5e-6-3.1e-52.0e-58.2e-51.5e-5-3.4e-6谐波次数131415161718窗函数类型Hanning-2.4e-2-2.0e-13.8e-3-1.2e-1-2.0e-3-2.3e-1Blackman-1.2e-2-9.9e-22.2e-3-7.3e-2-8.8e-4-1.2e-1Blackman-Harris-3.3e-1-5.8e-22.9e-2-4.6e-15.9e-24.0e-13项1阶Nuttall-9.5e-3-7.9e-21.8e-3-6.0e-2-6.8e-4-9.7e-24项3阶Nuttall6.1e-41.8e-3-5.4e-51.9e-32.6e-52.3e-34项5阶Nuttall-4.7e-5-1.2e-43.9e-6-1.4e-4-2.5e-6-1.7e-4由表3.4可以得到，加Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗、4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法都可以高精度地检测出各次谐波的相位参数，其中加4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法的相位检测精度最高，它的各次谐波的相位检测相对误差平均可以达到4610%~10%，比Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗平均高约1~4个数量级。在弱幅值谐波的相位参数检测方面，加4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法同样具有很好的性能，以第16次弱幅值谐波为例，加4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法的相位检测相对误差4为1.410%，比Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗高约1~3个数量级，有效地抑制了弱幅值谐波邻近的谐波分量的干扰，提高了弱幅值谐波的相位参数检测精度。3.4双谱线插值在基频变动下的仿真分析信号频率的变动会引起信号谐波之间频谱泄漏量的变化，从而影响谐波参数检测的精度。针对信号基波频率在49.5~50.5Hz范围内变动的情况，采用加4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法对表3.1的信号模型x(n)在MATLAB中进行仿真，所得到的频率、幅值、相位的相对误差分布情况如图3.1、图3.2、图3.3所示。23 合肥工业大学硕士学位论文图3.1双谱线插值基频变动下的频率相对误差Fig3.1Thefrequencyrelativeerrorofdoublelinesinterpolationoffundamentalvariation由图3.1可以得到，针对信号基波频率在49.5~50.5Hz范围内变动的情况，加4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法的频率检测精度较高，它的各次谐波的79频率检测相对误差平均可以达到10%~10%，未随基波频率变动而产生较大变化，可有效克服基波频率变动对谐波频率参数检测的影响，具有较高的准确度和稳定性。图3.2双谱线插值基频变动下的幅值相对误差Fig3.2Theamplituderelativeerrorofdoublelinesinterpolationoffundamentalvariation由图3.2可以得到，针对信号基波频率在49.5~50.5Hz范围内变动的情况，加4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法的幅值检测精度较高，它的各次谐波的67幅值检测相对误差平均可以达到10%~10%，未随基波频率变动而产生较大变化，可有效克服基波频率变动对谐波幅值参数检测的影响，具有较高的准确度和稳定性。24 第三章加窗多谱线插值FFT算法图3.3双谱线插值基频变动下的相位相对误差Fig3.3Thephaserelativeerrorofdoublelinesinterpolationoffundamentalvariation由图3.3可以得到，针对信号基波频率在49.5~50.5Hz范围内变动的情况，加4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法的相位检测精度较高，它的各次谐波的46相位检测相对误差平均可以达到10%~10%，未随基波频率变动而产生较大变化，可有效克服基波频率变动对谐波相位参数检测的影响，具有较高的准确度和稳定性。3.5双谱线插值在白噪声影响下的仿真分析白噪声的存在会引起信号谐波之间频谱泄漏量的变化，从而影响谐波参数检测的精度。针对加性高斯白噪声信噪比在20~130dB范围内变动的情况，分别采用加Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗、4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法在MATLAB中对表3.1的信号模型x(n)进行仿真，所得到的基波频率、基波幅值、基波相位的相对误差仿真结b果见表3.5、表3.6、表3.7所列，其中aeb代表a10。表3.5白噪声影响下的加窗双谱线插值FFT算法的基波频率相对误差%Tab3.5ThefundamentalfrequencyrelativeerrorofwindoweddoublelinesinterpolationFFTalgorithmofwhitenoiseeffect信噪比（dB）203040506070窗函数类型Hanning-2.0e-52.4e-52.8e-52.3e-52.3e-52.4e-5Blackman1.5e-42.0e-5-9.5e-61.3e-51.3e-51.2e-5Blackman-Harris-3.3e-4-6.3e-6-2.1e-5-3.8e-6-3.8e-6-4.3e-63项1阶Nuttall-1.2e-41.1e-5-8.9e-69.4e-69.4e-69.4e-64项3阶Nuttall-1.2e-44.5e-5-6.1e-7-5.5e-7-5.5e-71.7e-74项5阶Nuttall-1.0e-4-1.5e-5-1.9e-52.0e-62.0e-63.4e-725 合肥工业大学硕士学位论文信噪比（dB）8090100110120130窗函数类型Hanning2.3e-52.3e-52.3e-52.3e-52.3e-52.3e-5Blackman1.3e-51.2e-51.2e-51.2e-51.2e-51.2e-5Blackman-Harris-4.8e-6-4.7e-6-4.7e-6-4.7e-6-4.7e-6-4.7e-63项1阶Nuttall9.9e-61.0e-51.0e-51.0e-51.0e-51.0e-54项3阶Nuttall6.1e-8-7.0e-8-7.1e-8-4.9e-8-4.3e-8-4.3e-84项5阶Nuttall-6.6e-8-3.7e-84.2e-8-9.5e-91.1e-9-3.9e-10由表3.5可以得到，存在信噪比在20~130dB范围内变动的白噪声时，加Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗、4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法都可以高精度地检测出基波的频率参数，各个窗的基波频率参数检测精度随着信噪比的增加而提高，且到了某个信噪比之后，各个窗的基波频率参数检测精度会趋于稳定。当信噪比80dB时，加4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法的基波频率检测精度与4项3阶Nuttall窗48较为接近，可以达到10%~10%的数量级，均高于Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗和3项1阶Nuttall窗；当信噪比80dB时，加4项5阶Nuttall810窗双谱线插值FFT算法的基波频率检测精度最高，可以达到10%~10%的数量级，高于Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗和4项3阶Nuttall窗。整体来看，加4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法的基波频率检测精度最高，可有效克服不同信噪比的白噪声对基波频率参数检测的影响。表3.6白噪声影响下的加窗双谱线插值FFT算法的基波幅值相对误差%Tab3.6ThefundamentalamplituderelativeerrorofwindoweddoublelinesinterpolationFFTalgorithmofwhitenoiseeffect信噪比（dB）203040506070窗函数类型Hanning3.2e-32.1e-4-7.8e-4-9.8e-5-9.8e-5-7.8e-5Blackman-2.3e-31.4e-53.7e-4-6.9e-7-6.9e-7-3.2e-5Blackman-Harris-6.9e-34.3e-4-1.5e-45.7e-55.7e-51.2e-53项1阶Nuttall-1.6e-39.3e-49.8e-5-1.1e-5-1.1e-5-2.8e-54项3阶Nuttall3.2e-3-2.0e-32.0e-43.2e-53.2e-56.3e-64项5阶Nuttall-9.8e-44.4e-4-1.8e-4-8.1e-6-8.1e-63.7e-6信噪比（dB）8090100110120130窗函数类型Hanning-7.4e-5-7.4e-5-7.3e-5-7.3e-5-7.3e-5-7.3e-5Blackman-3.5e-5-3.5e-5-3.4e-5-3.3e-5-3.3e-5-3.3e-526 第三章加窗多谱线插值FFT算法Blackman-Harris1.1e-51.1e-51.1e-51.1e-51.1e-51.1e-53项1阶Nuttall-2.4e-5-2.5e-5-2.6e-5-2.6e-5-2.6e-5-2.6e-54项3阶Nuttall-2.2e-68.4e-71.5e-61.3e-61.2e-61.2e-64项5阶Nuttall1.0e-65.5e-78.5e-74.5e-75.8e-76.2e-7由表3.6可以得到，存在信噪比在20~130dB范围内变动的白噪声时，加Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗、4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法都可以高精度地检测出基波的幅值参数，各个窗的基波幅值参数检测精度随着信噪比的增加而提高，且到了某个信噪比之后，各个窗的基波幅值参数检测精度会趋于稳定。加4项5阶Nuttall窗双谱47线插值FFT算法的基波幅值检测精度最高，可以达到10%~10%的数量级，高于Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗和4项3阶Nuttall窗，可有效克服不同信噪比的白噪声对基波幅值参数检测的影响。表3.7白噪声影响下的加窗双谱线插值FFT算法的基波相位相对误差%Tab3.7ThefundamentalphaserelativeerrorofwindoweddoublelinesinterpolationFFTalgorithmofwhitenoiseeffect信噪比（dB）203040506070窗函数类型Hanning-1.2e-1-1.6e-1-1.3e-1-1.3e-1-1.3e-1-1.3e-1Blackman-9.0e-1-1.3e-11.7e-2-6.1e-2-6.5e-2-6.0e-2Blackman-Harris8.7e-1-7.5e-21.0e-12.0e-21.9e-22.0e-23项1阶Nuttall4.5e-1-1.2e-21.5e-2-4.9e-2-4.9e-2-4.7e-24项3阶Nuttall5.0e-1-1.6e-14.1e-22.8e-32.9e-3-8.1e-44项5阶Nuttall3.6e-1-6.2e-36.6e-2-1.1e-3-9.3e-3-3.8e-4信噪比（dB）8090100110120130窗函数类型Hanning-1.3e-1-1.3e-1-1.3e-1-1.3e-1-1.3e-1-1.3e-1Blackman-6.4e-2-6.3e-2-6.3e-2-6.3e-2-6.3e-2-6.3e-2Blackman-Harris2.2e-22.2e-22.2e-22.2e-22.2e-22.2e-23项1阶Nuttall-5.0e-2-5.0e-2-5.0e-2-5.0e-2-5.0e-2-5.0e-24项3阶Nuttall-6.8e-53.0e-43.4e-42.6e-42.4e-42.4e-44项5阶Nuttall2.4e-42.0e-4-1.4e-44.0e-5-7.2e-6-3.4e-6由表3.7可以得到，存在信噪比在20~130dB范围内变动的白噪声时，加Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗、4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法都可以高精度地检测出基波的相位参数，各个窗的基波相位参数检测精度随着信噪比的增加而提高，且到了某个信噪27 合肥工业大学硕士学位论文比之后，各个窗的基波相位参数检测精度会趋于稳定。加4项5阶Nuttall窗双谱16线插值FFT算法的基波相位检测精度最高，可以达到10%~10%的数量级，高于Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗和4项3阶Nuttall窗，可有效克服不同信噪比的白噪声对基波相位参数检测的影响。3.6加4项5阶Nuttall窗三谱线插值FFT算法的算法原理含有多个频率分量的时域信号x(t)以采样频率f均匀采样得到的离散信号s为I2ifn1x(n)Aisin(i)（3.32）i1fs式中：i为谐波次数；f为基波频率；if、A、分别为第i次谐波的频率、幅值、11ii相位；n0,1,,N1。用4项5阶Nuttall窗w(n)对式（3.32）的信号x(n)进行加窗处理，得到加窗后信号的离散傅里叶变换为IX(kf)AiejiW[2(kfif1)]（3.33）i12jfs式中：W()是4项5阶Nuttall窗w(n)的频谱函数。在非同步采样的情况下，第i次谐波的频率ifkf不处于各个离散谱线所1i对应的频率上，设信号的频点k附近幅值最大的谱线为k，k左边的谱线为k，immm1k右边的谱线为k，这三条谱线的幅值分别为tX(kf)、tX(kf)、mm11m12mtt31tX(kf)，设、kk，可知的取值范围为(0.5,0.5)，由3m1imt2式（3.33）可得2(1)2(1)W()W()NN（3.34）2()W()N1记式（3.34）为l()，其反函数记为l()。利用多项式拟合逼近，1可得l()逼近式为L()，由可求出参数，则第i次谐波的频率修正公式为fkf(k)f（3.35）iim第i次谐波的幅值修正是对k、k和k三根谱线的幅值进行加权平均，其m1mm128 第三章加窗多谱线插值FFT算法计算公式为2(kk)2(kk)2(kk)m1imim1iAW()2AW()AW()m1mm1NNNAi2(kk)2(kk)2(kk)m1imim1iW()2W()W()NNN2(t2tt)123（3.36）2(1)2()2(1)W()2W()W()NNN当N值较大时，式（3.36）可简化为1AN(t2tt)h()（3.37）i123利用多项式拟合逼近，可得A的逼近式为i1AN(t2tt)m()（3.38）i123由式（3.33）可得第i次谐波的相位修正公式为2()iarg[X(kmf)]argW[]（3.39）2N3.7三谱线插值的复杂谐波信号仿真分析3.7.1几种窗函数的三谱线插值7阶逼近式几种窗函数的L()和m()的三谱线插值7阶逼近式结果如下Hanning窗的三谱线插值7阶逼近式为35L()0.666662598611221-0.0739784541941090+0.0158541617188596-70.00309465556804072（3.40）24m()1.33333326463500+0.526588433068984+0.1169897988915096+0.0210651326979311（3.41）Blackman窗的三谱线插值7阶逼近式为35L()0.782607708690064-0.0777877006687846+0.01601035563088057-0.00330579990162688（3.42）24m()1.49253728456192+0.490450452879914+0.08756901903965856+0.0119585928244538（3.43）Blackman-Harris窗的三谱线插值7阶逼近式为35L()0.938918830354465-0.0820376441183995+0.01540755643473067-0.00316053765759296（3.44）24m()1.65866360165880+0.448653872821269+0.06478583734264036+0.00694328811759312（3.45）29 合肥工业大学硕士学位论文3项1阶Nuttall窗的三谱线插值7阶逼近式为35L()0.806243345643773-0.0783384805638470+0.01585083796315127-0.00327106675326410（3.46）24m()1.51751974020031+0.482862785661441+0.08331289744560986+0.0109554553127504（3.47）4项3阶Nuttall窗的三谱线插值7阶逼近式为35L()1.01467792562513-0.0851673297462205+0.01483256552953357-0.00288180986309622（3.48）24m()1.72433859840174+0.430782778696956+0.05755890219713456+0.00570211953188365（3.49）4项5阶Nuttall窗的三谱线插值7阶逼近式为35L()1.14285711618330-0.0932924937458554+0.01519305003466317-0.00282656034290553（3.50）24m()1.82857142194956+0.404705768356711+0.04803028705584886+0.00422519771444121（3.51）3.7.2三谱线插值的仿真分析采用表3.1所列的复杂信号在MATLAB中进行仿真，基波频率f50.1Hz；1采样频率f2800Hz；数据长度N1024。仿真过程中，信号模型x(n)分别加sHanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗、4项5阶Nuttall窗进行三谱线插值FFT仿真，所得到的频率、幅值、初相角的相对误差仿真结果见表3.8、表3.9、表3.10所列。表3.8加窗三谱线插值FFT算法的频率相对误差%Tab3.8TherelativeerroroffrequencyofwindowedthreelinesinterpolationFFTalgorithm谐波次数123456窗函数类型Hanning2.4e-64.2e-42.8e-53.5e-5-1.3e-5-1.4e-5Blackman9.2e-71.9e-41.4e-51.6e-5-5.9e-6-6.5e-6Blackman-Harris-5.6e-7-8.5e-6-1.2e-6-9.3e-7-6.6e-6-3.8e-63项1阶Nuttall7.0e-71.4e-41.1e-51.3e-5-4.6e-6-5.0e-64项3阶Nuttall-3.0e-9-3.0e-6-3.5e-8-3.4e-71.5e-71.6e-74项5阶Nuttall-2.4e-92.4e-7-2.3e-93.0e-8-1.1e-8-1.3e-8谐波次数789101112窗函数类型Hanning-7.7e-63.1e-5-3.3e-61.9e-6-1.9e-64.4e-630 第三章加窗多谱线插值FFT算法Blackman-3.7e-61.3e-5-1.5e-64.2e-7-7.7e-72.1e-6Blackman-Harris9.5e-7-6.6e-6-1.8e-66.9e-65.0e-6-3.4e-63项1阶Nuttall-2.9e-61.0e-5-1.2e-62.7e-7-6.0e-71.7-64项3阶Nuttall8.8e-8-2.1e-74.0e-82.8e-86.2e-9-5.5e-84项5阶Nuttall-6.5e-91.5e-8-2.5e-9-3.6e-9-1.4e-96.0e-9谐波次数131415161718窗函数类型Hanning-1.1e-61.5e-5-3.8e-72.9e-5-2.2e-76.3e-5Blackman-5.9e-74.9e-6-1.7e-71.3e-5-1.4e-72.9e-5Blackman-Harris4.7e-61.1e-5-6.6e-72.3e-58.8e-6-3.3e-53项1阶Nuttall-4.7e-73.6e-6-1.3e-71.0e-5-1.1e-72.3e-54项3阶Nuttall1.8e-86.8e-84.5e-9-2.7e-75.1e-9-6.1e-74项5阶Nuttall-1.8e-9-1.5e-8-4.2e-102.3e-82.4e-105.3e-8由表3.8可以得到，加Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗、4项5阶Nuttall窗三谱线插值FFT算法都可以高精度地检测出各次谐波的频率参数，且通过与表2加窗双谱线插值FFT算法的频率相对误差的比较，三谱线插值的频率相对误差精度更高，平均约比双谱线插值的精度高1个数量级。表3.8中，加4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法的频率检测精度最高，它的各次谐波的频率检测相对误差平均可以达到81010%~10%，比Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗平均高约1~4个数量级。在弱幅值谐波的频率参数检测方面，加4项5阶Nuttall窗三谱线插值FFT算法同样具有很好的性能，以第16次弱幅值谐波为例，加4项5阶Nuttall窗三谱线插值FFT算法的频率检测相对误差8为2.310%，比Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗高约1~3个数量级，有效地抑制了弱幅值谐波邻近的谐波分量的干扰，提高了弱幅值谐波的频率参数检测精度。表3.9加窗三谱线插值FFT算法的幅值相对误差%Tab3.9TherelativeerrorofamplitudeofwindowedthreelinesinterpolationFFTalgorithm谐波次数123456窗函数类型Hanning6.8e-6-4.3e-3-6.9e-56.5e-43.8e-42.2e-4Blackman1.9e-6-1.7e-3-2.8e-52.5e-41.5e-48.4e-5Blackman-Harris-2.6e-64.7e-5-1.3e-7-7.9e-61.3e-42.1e-53项1阶Nuttall1.1e-6-1.3e-3-2.1e-51.9e-41.1e-46.3e-54项3阶Nuttall-6.1e-72.2e-5-5.2e-7-4.7e-6-3.2e-6-2.5e-631 合肥工业大学硕士学位论文4项5阶Nuttall-3.8e-7-2.1e-6-2.9e-71.8e-73.9e-87.5e-8谐波次数789101112窗函数类型Hanning-2.2e-4-1.6e-38.8e-51.4e-41.6e-4-8.6e-5Blackman-8.7e-5-5.8e-43.4e-54.2e-55.3e-5-3.5e-5Blackman-Harris1.6e-52.2e-41.8e-51.6e-4-2.5e-45.5e-53项1阶Nuttall-6.6e-5-4.4e-42.6e-53.0e-54.0e-5-2.7e-54项3阶Nuttall1.8e-68.1e-6-7.9e-71.3e-74.5e-71.0e-64项5阶Nuttall-5.1e-8-2.9e-71.2e-73.2e-75.9e-71.8e-7谐波次数131415161718窗函数类型Hanning-6.8e-6-1.7e-32.3e-51.5e-3-2.8e-5-3.9e-3Blackman-5.5e-6-5.0e-48.8e-65.6e-4-1.5e-5-1.5e-3Blackman-Harris1.2e-4-7.7e-41.7e-55.9e-47.2e-41.1e-33项1阶Nuttall-4.4e-6-3.6e-46.9e-64.2e-4-1.1e-5-1.1e-34项3阶Nuttall6.5e-7-1.5e-64.1e-7-1.0e-57.8e-72.7e-54项5阶Nuttall3.8e-73.2e-73.7e-71.3e-62.1e-7-2.0e-6由表3.9可以得到，加Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗、4项5阶Nuttall窗三谱线插值FFT算法都可以高精度地检测出各次谐波的幅值参数，且通过与表3加窗双谱线插值FFT算法的幅值相对误差的比较，三谱线插值的幅值相对误差精度更高，平均约比双谱线插值的精度高1个数量级。表3.9中，加4项5阶Nuttall窗三谱线插值FFT算法的幅值检测精度最高，它的各次谐波的幅值检测相对误差平均可以达到7810%~10%，比Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗平均高约1~4个数量级。在弱幅值谐波的幅值参数检测方面，加4项5阶Nuttall窗三谱线插值FFT算法同样具有很好的性能，以第16次弱幅值谐波为例，加4项5阶Nuttall窗三谱线插值FFT算法的幅值检测相对误差6为1.310%，比Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗高约1~3个数量级，有效地抑制了弱幅值谐波邻近的谐波分量的干扰，提高了弱幅值谐波的幅值参数检测精度。表3.10加窗三谱线插值FFT算法的相位相对误差%Tab3.10TherelativeerrorofphaseofwindowedthreelinesinterpolationFFTalgorithm谐波次数123456窗函数类型Hanning-5.1e-21.7e-1-2.8e-3-1.4e-29.8e-33.5e-232 第三章加窗多谱线插值FFT算法Blackman-2.1e-26.6e-2-1.5e-3-5.9e-34.3e-31.5e-2Blackman-Harris6.3e-36.3e-39.7e-43.0e-3-4.5e-57.1e-43项1阶Nuttall-1.6e-25.1e-2-1.2e-3-4.6e-33.3e-31.2e-24项3阶Nuttall9.8e-5-7.2e-4-3.7e-66.6e-5-6.5e-5-2.4e-44项5阶Nuttall5.8e-63.1e-59.1e-7-5.2e-64.3e-61.6e-5谐波次数789101112窗函数类型Hanning-3.2e-3-1.3e-24.3e-32.6e-26.0e-23.8e-3Blackman-1.5e-3-5.7e-31.9e-310.0e-32.5e-21.4e-3Blackman-Harris1.8e-3-1.5e-46.7e-42.0e-2-8.0e-23.7e-43项1阶Nuttall-1.1e-3-4.4e-31.5e-37.6e-31.9e-21.0e-34项3阶Nuttall2.6e-59.2e-5-4.1e-5-6.9e-5-2.8e-44.0e-64项5阶Nuttall-1.9e-6-6.5e-62.6e-64.2e-72.5e-5-2.4e-6谐波次数131415161718窗函数类型Hanning1.7e-34.0e-21.7e-36.5e-2-1.7e-3-5.1e-04Blackman1.3e-31.8e-27.3e-42.6e-2-7.4e-4-2.3e-2Blackman-Harris-2.2e-2-5.2e-2-3.1e-3-6.7e-31.3e-28.9e-33项1阶Nuttall1.1e-31.4e-25.6e-42.0e-2-5.7e-4-1.8e-24项3阶Nuttall-6.1e-5-4.0e-4-1.3e-5-2.4e-48.9e-64.9e-44项5阶Nuttall6.7e-64.0e-51.1e-68.0e-61.1e-7-4.1e-5由表3.10可以得到，加Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗、4项5阶Nuttall窗三谱线插值FFT算法都可以高精度地检测出各次谐波的相位参数，且通过与表4加窗双谱线插值FFT算法的相位相对误差的比较，三谱线插值的相位相对误差精度更高，平均约比双谱线插值的精度高1个数量级。表3.10中，加4项5阶Nuttall窗三谱线插值FFT算法的相位检测精度最高，它的各次谐波的相位检测相对误差平均可以达到5710%~10%，比Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗平均高约1~4个数量级。在弱幅值谐波的相位参数检测方面，加4项5阶Nuttall窗三谱线插值FFT算法同样具有很好的性能，以第16次弱幅值谐波为例，加4项5阶Nuttall窗三谱线插值FFT算法的相位检测相对误差6为8.010%，比Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗高约1~3个数量级，有效地抑制了弱幅值谐波邻近的谐波分量的干扰，提高了弱幅值谐波的相位参数检测精度。33 合肥工业大学硕士学位论文3.8三谱线插值在基频变动下的仿真分析针对信号基波频率在49.5~50.5Hz范围内变动的情况，采用加4项5阶Nuttall窗三谱线插值FFT算法在MATLAB中对表3.1的信号模型x(n)进行仿真，所得到的频率、幅值、相位的相对误差分布情况如图3.4、图3.5、图3.6所示。图3.4三谱线插值基频变动下的频率相对误差Fig3.4Thefrequencyrelativeerrorofthreelinesinterpolationoffundamentalvariation由图3.4可以得到，针对信号基波频率在49.5~50.5Hz范围内变动的情况，加4项5阶Nuttall窗三谱线插值FFT算法的频率检测精度高，且通过与图3.1双谱线插值基频变动下的频率相对误差的比较，三谱线插值的精度更高，平均约比双谱线插值的精度高1个数量级。图3.4中，加4项5阶Nuttall窗三谱线插值FFT810算法基频变动下的各次谐波的频率检测相对误差平均可以达到10%~10%，未随基波频率变动而产生较大变化，可有效克服基波频率变动对谐波频率参数检测的影响，具有较高的准确度和稳定性。图3.5三谱线插值基频变动下的幅值相对误差Fig3.5Theamplituderelativeerrorofthreelinesinterpolationoffundamentalvariation由图3.5可以得到，针对信号基波频率在49.5~50.5Hz范围内变动的情况，加4项5阶Nuttall窗三谱线插值FFT算法的幅值检测精度高，且通过与图3.2双34 第三章加窗多谱线插值FFT算法谱线插值基频变动下的幅值相对误差的比较，三谱线插值的精度更高，平均约比双谱线插值的精度高1个数量级。图3.5中，加4项5阶Nuttall窗三谱线插值FFT78算法基频变动下的各次谐波的幅值检测相对误差平均可以达到10%~10%，未随基波频率变动而产生较大变化，可有效克服基波频率变动对谐波幅值参数检测的影响，具有较高的准确度和稳定性。图3.6三谱线插值基频变动下的相位相对误差Fig3.6Thephaserelativeerrorofthreelinesinterpolationoffundamentalvariation由图3.6可以得到，针对信号基波频率在49.5~50.5Hz范围内变动的情况，加4项5阶Nuttall窗三谱线插值FFT算法的相位检测精度高，且通过与图3.3双谱线插值基频变动下的相位相对误差的比较，三谱线插值的精度更高，平均约比双谱线插值的精度高1个数量级。图3.6中，加4项5阶Nuttall窗三谱线插值FFT57算法基频变动下的各次谐波的相位检测相对误差平均可以达到10%~10%，未随基波频率变动而产生较大变化，可有效克服基波频率变动对谐波相位参数检测的影响，具有较高的准确度和稳定性。3.9三谱线插值在白噪声影响下的仿真分析针对加性高斯白噪声信噪比在20~130dB范围内变动的情况，分别采用加Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗、4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法在MATLAB中对表3.1的信号模型x(n)进行仿真，所得到的基波频率、基波幅值、基波相位的相对误差仿真结果见b表3.11、表3.12、表3.13所列，其中aeb代表a10。35 合肥工业大学硕士学位论文表3.11白噪声影响下的加窗三谱线插值FFT算法的基波频率相对误差%Tab3.11ThefundamentalfrequencyrelativeerrorofwindowedthreelinesinterpolationFFTalgorithmofwhitenoiseeffect信噪比（dB）203040506070窗函数类型Hanning2.2e-45.8e-5-5.9e-63.2e-64.6e-62.7e-6Blackman1.1e-44.5e-5-2.7e-5-4.3e-61.1e-65.3e-7Blackman-Harris-1.2e-4-2.3e-5-4.7e-68.5e-6-1.6e-7-1.4e-63项1阶Nuttall-6.4e-51.8e-62.3e-56.4e-68.4e-77.5e-74项3阶Nuttall1.5e-4-1.4e-44.6e-6-1.4e-5-2.2e-64.5e-74项5阶Nuttall7.4e-6-6.4e-52.3e-5-1.3e-62.2e-72.1e-7信噪比（dB）8090100110120130窗函数类型Hanning2.2e-62.4e-62.4e-62.4e-62.4e-62.4e-6Blackman1.0e-68.5e-79.2e-79.2e-79.2e-79.2e-7Blackman-Harris-6.2e-7-5.5e-7-5.8e-7-5.7e-7-5.6e-7-5.6e-73项1阶Nuttall8.6e-77.5e-76.9e-77.0e-77.0e-77.0e-74项3阶Nuttall-3.4e-7-1.5e-83.6e-82.2e-9-7.1e-9-2.8e-94项5阶Nuttall1.1e-7-1.1e-76.2e-95.7e-9-2.5e-9-2.6e-9由表3.11可以得到，存在信噪比在20~130dB范围内变动的白噪声时，加Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗、4项5阶Nuttall窗三谱线插值FFT算法都可以高精度地检测出基波的频率参数，且通过与表3.5白噪声影响下的加窗双谱线插值FFT算法的基波频率相对误差的比较，三谱线插值的精度更高，平均约比双谱线插值的精度高1个数量级。表3.11中，各个窗的基波频率参数检测精度随着信噪比的增加而提高，且到了某个信噪比之后，各个窗的基波频率参数检测精度会趋于稳定。加4项5阶Nuttall59窗三谱线插值FFT算法的基波频率检测精度最高，可以达到10%~10%的数量级，高于Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗和4项3阶Nuttall窗，可有效克服不同信噪比的白噪声对基波频率参数检测的影响。表3.12白噪声影响下的加窗三谱线插值FFT算法的基波幅值相对误差%Tab3.12ThefundamentalamplituderelativeerrorofwindowedthreelinesinterpolationFFTalgorithmofwhitenoiseeffect信噪比（dB）203040506070窗函数类型Hanning-3.3e-35.9e-4-7.4e-55.7e-51.3e-5-1.3e-536 第三章加窗多谱线插值FFT算法Blackman1.5e-3-1.3e-4-3.1e-4-1.2e-5-7.2e-6-1.1e-6Blackman-Harris-2.7e-36.3e-4-9.6e-5-2.1e-51.3e-5-2.7e-63项1阶Nuttall-1.2e-33.6e-41.7e-4-8.7e-52.8e-5-6.3e-64项3阶Nuttall6.0e-44.4e-44.3e-4-6.9e-53.3e-5-1.4e-54项5阶Nuttall8.6e-35.2e-41.9e-48.2e-5-4.5e-63.3e-7信噪比（dB）8090100110120130窗函数类型Hanning8.6e-65.7e-67.1e-66.8e-66.7e-66.8e-6Blackman3.3e-62.3e-62.2e-61.9e-61.9e-61.9e-6Blackman-Harris3.6e-6-2.9e-6-2.3e-6-2.5e-6-2.6e-6-2.6e-63项1阶Nuttall-1.9e-62.0e-61.5e-69.9e-71.0e-61.1e-64项3阶Nuttall8.2e-6-8.2e-7-4.4e-7-4.8e-7-6.0e-7-6.0e-74项5阶Nuttall-1.3e-61.5e-6-2.7e-7-4.2e-7-4.2e-7-3.8e-7由表3.12可以得到，存在信噪比在20~130dB范围内变动的白噪声时，加Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗、4项5阶Nuttall窗三谱线插值FFT算法都可以高精度地检测出基波的幅值参数，且通过与表3.6白噪声影响下的加窗双谱线插值FFT算法的基波幅值相对误差的比较，三谱线插值的精度更高，平均约比双谱线插值的精度高1个数量级。表3.12中，各个窗的基波幅值参数检测精度随着信噪比的增加而提高，且到了某个信噪比之后，各个窗的基波幅值参数检测精度会趋于稳定。加4项5阶Nuttall37窗三谱线插值FFT算法的基波幅值检测精度最高，可以达到10%~10%的数量级，高于Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗和4项3阶Nuttall窗，可有效克服不同信噪比的白噪声对基波幅值参数检测的影响。表3.13白噪声影响下的加窗三谱线插值FFT算法的基波相位相对误差%Tab3.13ThefundamentalphaserelativeerrorofwindowedthreelinesinterpolationFFTalgorithmofwhitenoiseeffect信噪比（dB）203040506070窗函数类型Hanning-6.1e-1-2.7e-12.7e-2-5.0e-2-6.0e-2-5.2e-2Blackman-5.2e-1-9.2e-21.1e-1-2.9e-3-2.4e-2-2.0e-2Blackman-Harris2.2e-17.9e-21.1e-2-2.8e-26.1e-39.6e-33项1阶Nuttall2.1e-1-1.1e-2-1.1e-1-3.9e-2-1.8e-2-1.6e-24项3阶Nuttall-4.6e-15.7e-1-1.6e-25.5e-25.3e-3-9.3e-44项5阶Nuttall-2.3e-11.7e-1-4.6e-21.4e-2-4.6e-4-7.4e-437 合肥工业大学硕士学位论文信噪比（dB）8090100110120130窗函数类型Hanning-5.0e-2-5.1e-2-5.1e-2-5.1e-2-5.1e-2-5.1e-2Blackman-2.1e-2-2.1e-2-2.1e-2-2.1e-2-2.1e-2-2.1e-2Blackman-Harris6.3e-36.1e-36.3e-36.3e-36.3e-36.3e-33项1阶Nuttall-1.7e-2-1.6e-2-1.6e-2-1.6e-2-1.6e-2-1.6e-24项3阶Nuttall1.2e-31.8e-4-4.5e-56.5e-51.1e-49.7e-54项5阶Nuttall-1.4e-44.1e-4-6.6e-6-2.4e-57.3e-66.3e-6由表3.13可以得到，存在信噪比在20~130dB范围内变动的白噪声时，加Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗、4项5阶Nuttall窗三谱线插值FFT算法都可以高精度地检测出基波的相位参数，且通过与表3.7白噪声影响下的加窗双谱线插值FFT算法的基波相位相对误差的比较，三谱线插值的精度更高，平均约比双谱线插值的精度高1个数量级。表3.13中，各个窗的基波相位参数检测精度随着信噪比的增加而提高，且到了某个信噪比之后，各个窗的基波相位参数检测精度会趋于稳定。加4项5阶Nuttall16窗三谱线插值FFT算法的基波相位检测精度最高，可以达到10%~10%的数量级，高于Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗和4项3阶Nuttall窗，可有效克服不同信噪比的白噪声对基波相位参数检测的影响。3.10本章小结本章分析了加窗双谱线插值FFT算法以及加窗三谱线插值FFT算法，主要做了以下几项工作：（1）推导了加窗双谱线插值FFT算法的算法原理，提出了基于加4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法的谐波检测方法，在MATLAB中针对信号模型分别加Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗、4项5阶Nuttall窗进行了双谱线插值FFT仿真，得到了频率、幅值、相位的相对误差仿真结果，仿真结果验证了加4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法的谐波参数检测精度。在弱幅值谐波的频率、幅值、相位参数检测方面，加4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法同样具有很好的性能。考虑了信号基波频率在49.5~50.5Hz范围内变动的情况和加性高斯白噪声信噪比在20~130dB范围内变动的情况，仿真结果表明，加4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法可有效克服基波频率变动和不同信噪比的白噪声对谐波参数检测的影响。（2）推导了加窗三谱线插值FFT算法的算法原理，提出了基于加4项5阶Nuttall窗三谱线插值FFT算法的谐波检测方法，在MATLAB中针对信号模型分别加Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall38 第三章加窗多谱线插值FFT算法窗、4项5阶Nuttall窗进行了三谱线插值FFT仿真，得到了频率、幅值、相位的相对误差仿真结果，仿真结果验证了加4项5阶Nuttall窗三谱线插值FFT算法的谐波参数检测精度。在弱幅值谐波的频率、幅值、相位参数检测方面，加4项5阶Nuttall窗三谱线插值FFT算法同样具有很好的性能。考虑了信号基波频率在49.5~50.5Hz范围内变动的情况和加性高斯白噪声信噪比在20~130dB范围内变动的情况，仿真结果表明，加4项5阶Nuttall窗三谱线插值FFT算法可有效克服基波频率变动和不同信噪比的白噪声对谐波参数检测的影响。（3）比较了双谱线插值和三谱线插值的仿真结果，在本文所选的信号模型以及采样频率等参数的情况下，三谱线插值的谐波参数相对误差平均约比双谱线插值的精度高1个数量级，通过比较双谱线插值和三谱线插值的原理可知，三谱线插值比双谱线插值多使用了信号频点附近的一条谱线信息，因而精度更高。39 合肥工业大学硕士学位论文第四章加窗相位差FFT算法加窗多谱线插值FFT算法可以减小非同步采样所带来的误差，从而大大提高谐波检测的精度。除了加窗多谱线插值FFT算法，加窗相位差FFT算法同样具有很好的性能，可以高精度地检测出复杂谐波信号的参数。4.1加4项5阶Nuttall窗相位差FFT算法的算法原理以含有多个频率分量的时域信号x(t)为例，x(t)的表达式为Ix(t)Aisin(2if1ti)（4.1）i1式中：i为谐波次数；f为基波频率；if、A、分别为第i次谐波的频率、幅值、11ii相位；n0,1,,N1。x(t)以采样频率f均匀采样得到的离散信号为sI2ifn1x(n)Aisin(i)（4.2）i1fs对离散信号x(n)进行长度为L的时域平移，其中0LN/2，得到的离散信号为I2if(nL)1xL(n)Aisin[i]（4.3）i1fs用4项5阶Nuttall窗w(n)对离散信号x(n)进行加窗处理，得到加窗后信号的离散傅里叶变换为IjiNif1X(k)AieW(k)（4.4）i1fs式中：W()是4项5阶Nuttall窗w(n)的频谱函数。忽略其它次谐波的影响，第i次谐波的离散傅里叶变换为jiNif1X(k)AeW(k)（4.5）iiifs同理可得x(n)平移之后的信号x(n)的第i次谐波的离散傅里叶变换为LX(k)Aej(i2if1L/fs)W(kNif1)（4.6）Liiifs在非同步采样的情况下，第i次谐波的频率ifkf不处于各个离散谱线所1i对应的频率上，设信号的频点k附近幅值最大的谱线为k，设kk，则离imim40 第四章加窗相位差FFT算法散信号x(n)和x(n)在第i次谐波处的相位分别为L[x(n)]（4.7）ii[x(n)]2ifL/f（4.8）iLi1s离散信号x(n)和x(n)在第i次谐波处的相位差为L[x(n)][x(n)]2ifL/f（4.9）iiLi1s则第i次谐波的频率修正公式为fisf（4.10）i2L第i次谐波的幅值和相位的修正公式分别为X(k)mA（4.11）iW()arg[X(k)]arg[W()]（4.12）im4.2加窗相位差FFT算法的复杂谐波信号仿真分析采用包含18次谐波的复杂信号在MATLAB中进行仿真，信号模型如下18f1x(n)Aisin(2ini)（4.13）i1fs式中：基波频率f50.1Hz；采样频率f5600Hz；数据长度N2048；基波1s和各次谐波的幅值A和相位在表4.1中给出。所选取的信号模型是包含多次谐ii波的复杂信号，在进行离散傅里叶变换时，各次谐波之间产生的泄漏干扰会对谐波参数检测的精度产生影响。仿真过程中，信号模型x(n)分别加Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗、4项5阶Nuttall窗进行相位差FFT仿真，所得到的频率、幅值、相位的相对误差仿真结b果见表4.2、表4.3、表4.4所列，其中aeb代表a10。表4.1包含18次谐波的信号的基波和各次谐波的参数Tab4.1Thefundamentalandeachharmonicparametersofsignalcontaining18harmonicsi123456789A/V795.893.754.37.54.82.6i/()3.94150.77946.829-816345.2ii101112131415161718A/V1.94.23.86.32.425.73.67.1i/()-175.14910.3342347.9-5279i41 合肥工业大学硕士学位论文表4.2加窗相位差FFT算法的频率相对误差%Tab4.2TherelativeerroroffrequencyofwindowedphasedifferenceFFTalgorithm谐波次数123456窗函数类型Hanning8.9e-4-5.8e-3-2.3e-3-1.6e-32.3e-4-9.6e-5Blackman3.7e-4-2.4e-3-9.6e-4-6.7e-49.1e-5-4.1e-5Blackman-Harris-1.5e-43.5e-42.3e-5-5.5e-43.7e-42.7e-43项1阶Nuttall2.9e-4-1.9e-3-7.5e-4-5.1e-46.9e-5-3.2e-54项3阶Nuttall-1.4e-62.2e-52.3e-68.2e-6-3.2e-64.9e-94项5阶Nuttall3.1e-8-1.3e-64.5e-8-4.5e-72.1e-7-1.7e-8谐波次数789101112窗函数类型Hanning6.0e-4-5.6e-42.6e-42.3e-48.0e-5-5.2e-4Blackman2.5e-4-2.3e-41.1e-49.8e-53.4e-5-2.2e-4Blackman-Harris1.4e-42.0e-42.8e-43.3e-41.0e-49.9e-53项1阶Nuttall1.9e-4-1.8e-48.1e-57.6e-52.6e-5-1.7e-44项3阶Nuttall-2.7e-62.9e-6-2.3e-6-9.9e-79.2e-82.8e-64项5阶Nuttall1.5e-7-1.6e-71.4e-74.6e-8-1.3e-8-1.7e-7谐波次数131415161718窗函数类型Hanning2.4e-53.3e-46.8e-5-1.5e-41.3e-4-1.7e-4Blackman9.9e-61.4e-42.8e-5-6.3e-55.4e-5-7.3e-5Blackman-Harris3.6e-52.2e-42.5e-4-2.2e-56.8e-52.3e-53项1阶Nuttall7.5e-61.0e-42.1e-5-4.8e-54.1e-5-5.6e-54项3阶Nuttall-4.0e-7-1.1e-6-9.6e-78.0e-7-6.0e-77.8e-74项5阶Nuttall2.8e-85.9e-86.8e-8-4.8e-82.6e-8-4.5e-8由表4.2可以得到，加Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗、4项5阶Nuttall窗相位差FFT算法都可以高精度地检测出各次谐波的频率参数，其中加4项5阶Nuttall窗相位差FFT算法的频率检测精度最高，它的各次谐波的频率检测相对误差平均可以达到7810%~10%，比Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗平均高约1~4个数量级，有效地提高了谐波的频率参数检测精度。42 第四章加窗相位差FFT算法表4.3加窗相位差FFT算法的幅值相对误差%Tab4.3TherelativeerrorofamplitudeofwindowedphasedifferenceFFTalgorithm谐波次数123456窗函数类型Hanning6.5e-31.1e-18.7e-3-4.9e-2-1.3e-2-6.7e-3Blackman2.1e-33.5e-23.2e-3-1.6e-2-4.3e-3-2.9e-3Blackman-Harris-6.0e-4-4.2e-3-5.5e-4-8.6e-3-1.1e-2-2.2e-33项1阶Nuttall1.5e-32.6e-22.4e-3-1.2e-2-3.1e-3-2.2e-34项3阶Nuttall-5.1e-6-2.3e-4-2.5e-61.5e-48.8e-54.5e-54项5阶Nuttall1.1e-71.1e-5-3.6e-7-7.2e-6-4.7e-6-2.7e-6谐波次数789101112窗函数类型Hanning2.8e-25.2e-2-1.5e-27.3e-3-1.0e-21.6e-2Blackman9.2e-31.7e-2-5.6e-31.9e-3-3.3e-35.0e-3Blackman-Harris3.5e-3-9.7e-3-4.1e-39.6e-3-7.4e-3-2.5e-33项1阶Nuttall6.8e-31.3e-2-4.2e-31.3e-3-2.4e-33.6e-34项3阶Nuttall-7.3e-5-1.5e-47.7e-5-3.0e-6-2.3e-6-3.5e-54项5阶Nuttall3.6e-67.7e-6-4.5e-6-3.6e-74.3e-71.6e-6谐波次数131415161718窗函数类型Hanning1.2e-4-5.5e-2-9.2e-3-1.1e-23.6e-21.8e-2Blackman-9.7e-5-1.7e-2-3.5e-3-3.7e-31.2e-26.0e-3Blackman-Harris1.1e-3-2.1e-2-8.9e-3-1.1e-37.6e-3-1.2e-33项1阶Nuttall-9.7e-5-1.2e-2-2.6e-3-2.7e-39.0e-34.4e-34项3阶Nuttall-4.0e-68.9e-55.7e-53.7e-5-1.1e-4-4.8e-54项5阶Nuttall1.9e-7-3.9e-6-3.4e-6-2.1e-65.2e-62.5e-6由表4.3可以得到，加Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗、4项5阶Nuttall窗相位差FFT算法都可以高精度地检测出各次谐波的幅值参数，其中加4项5阶Nuttall窗相位差FFT算法的幅值检测精度最高，它的各次谐波的幅值检测相对误差平均可以达到6710%~10%，比Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗平均高约1~4个数量级，有效地提高了谐波的幅值参数检测精度。43 合肥工业大学硕士学位论文表4.4加窗相位差FFT算法的相位相对误差%Tab4.4TherelativeerrorofphaseofwindowedphasedifferenceFFTalgorithm谐波次数123456窗函数类型Hanning-7.6e-11.0e-04.4e-12.6e-1-7.7e-28.3e-2Blackman-3.2e-14.2e-11.9e-11.1e-1-3.1e-23.6e-2Blackman-Harris1.2e-1-5.4e-2-4.1e-39.2e-2-1.3e-1-1.8e-13项1阶Nuttall-2.5e-13.3e-11.5e-18.4e-2-2.3e-22.8e-24项3阶Nuttall1.2e-3-4.0e-3-4.6e-4-1.4e-31.1e-3-9.9e-54项5阶Nuttall-2.8e-52.3e-4-8.4e-67.5e-5-7.2e-51.7e-5谐波次数789101112窗函数类型Hanning1.7e-12.3e-1-1.6e-14.9e-1-5.4e-14.2e-1Blackman7.1e-29.6e-2-6.8e-22.1e-1-2.2e-11.8e-1Blackman-Harris4.1e-2-8.5e-2-1.8e-16.3e-1-7.4e-1-8.0e-23项1阶Nuttall5.5e-27.4e-2-5.2e-21.6e-1-1.7e-11.4e-14项3阶Nuttall-7.7e-4-1.2e-31.5e-3-2.1e-3-8.7e-4-2.3e-34项5阶Nuttall4.3e-56.8e-5-9.2e-51.0e-41.0e-41.4e-4谐波次数131415161718窗函数类型Hanning-1.1e-1-4.4e-1-1.5e-11.7e-11.4e-11.3e-1Blackman-4.4e-2-1.8e-1-6.2e-27.1e-25.6e-25.5e-2Blackman-Harris-1.5e-1-3.0e-1-5.3e-12.5e-27.3e-2-1.7e-23项1阶Nuttall-3.3e-2-1.4e-1-4.7e-25.4e-24.3e-24.2e-24项3阶Nuttall1.7e-31.4e-32.1e-3-9.0e-4-6.2e-4-5.9e-44项5阶Nuttall-1.2e-4-7.5e-5-1.5e-45.5e-52.6e-53.4e-5由表4.4可以得到，加Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗、4项5阶Nuttall窗相位差FFT算法都可以高精度地检测出各次谐波的相位参数，其中加4项5阶Nuttall窗相位差FFT算法的相位检测精度最高，它的各次谐波的相位检测相对误差平均可以达到4510%~10%，比Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗平均高约1~4个数量级，有效地提高了谐波的相位参数检测精度。4.3加窗相位差FFT算法在基频变动下的仿真分析针对信号基波频率在49.5~50.5Hz范围内变动的情况，采用加4项5阶44 第四章加窗相位差FFT算法Nuttall窗相位差FFT算法在MATLAB中对表4.1的信号模型x(n)进行仿真，所得到的频率、幅值、相位的相对误差分布情况如图4.1、图4.2、图4.3所示。图4.1相位差基频变动下的频率相对误差Fig4.1Thefrequencyrelativeerrorofphasedifferenceoffundamentalvariation由图4.1可以得到，针对信号基波频率在49.5~50.5Hz范围内变动的情况，加4项5阶Nuttall窗相位差FFT算法的频率检测精度较高，它的各次谐波的频率78检测相对误差平均可以达到10%~10%，未随基波频率变动而产生较大变化，可有效克服基波频率变动对谐波频率参数检测的影响，具有较高的准确度和稳定性。图4.2相位差基频变动下的幅值相对误差Fig4.2Theamplituderelativeerrorofphasedifferenceoffundamentalvariation由图4.2可以得到，针对信号基波频率在49.5~50.5Hz范围内变动的情况，加4项5阶Nuttall窗相位差FFT算法的幅值检测精度较高，它的各次谐波的幅值67检测相对误差平均可以达到10%~10%，未随基波频率变动而产生较大变化，可有效克服基波频率变动对谐波幅值参数检测的影响，具有较高的准确度和稳定性。45 合肥工业大学硕士学位论文图4.3相位差基频变动下的相位相对误差Fig4.3Thephaserelativeerrorofphasedifferenceoffundamentalvariation由图4.3可以得到，针对信号基波频率在49.5~50.5Hz范围内变动的情况，加4项5阶Nuttall窗相位差FFT算法的相位检测精度较高，它的各次谐波的相位45检测相对误差平均可以达到10%~10%，未随基波频率变动而产生较大变化，可有效克服基波频率变动对谐波相位参数检测的影响，具有较高的准确度和稳定性。4.4加窗相位差FFT算法在白噪声影响下的仿真分析针对加性高斯白噪声信噪比在40~150dB范围内变动的情况，分别采用加Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗、4项5阶Nuttall窗相位差FFT算法在MATLAB中对表4.1的信号模型x(n)进行仿真，所得到的基波频率、基波幅值、基波相位的相对误差仿真结果见表4.5、b表4.6、表4.7所列，其中aeb代表a10。表4.5白噪声影响下的加窗相位差FFT算法的基波频率相对误差%Tab4.5ThefundamentalfrequencyrelativeerrorofwindowedphasedifferenceFFTalgorithmofwhitenoiseeffect信噪比（dB）405060708090窗函数类型Hanning4.6e-31.9e-31.4e-31.1e-38.6e-49.0e-4Blackman-2.8e-3-2.5e-4-1.3e-33.5e-43.5e-44.0e-4Blackman-Harris-2.3e-32.6e-3-1.2e-34.5e-5-1.8e-4-1.1e-43项1阶Nuttall2.2e-31.2e-57.3e-42.6e-42.9e-42.8e-44项3阶Nuttall-2.3e-3-3.0e-3-1.0e-32.1e-4-5.2e-54.5e-54项5阶Nuttall6.9e-41.1e-36.5e-4-1.7e-4-5.2e-56.6e-546 第四章加窗相位差FFT算法信噪比（dB）100110120130140150窗函数类型Hanning8.9e-48.9e-48.9e-48.9e-48.9e-48.9e-4Blackman3.8e-43.7e-43.7e-43.7e-43.7e-43.7e-4Blackman-Harris-1.5e-4-1.4e-4-1.5e-4-1.5e-4-1.5e-4-1.5e-43项1阶Nuttall2.8e-42.9e-42.9e-42.9e-42.9e-42.9e-44项3阶Nuttall-3.2e-6-2.7e-62.6e-7-1.1e-6-1.4e-6-1.4e-64项5阶Nuttall-2.0e-6-4.3e-67.8e-71.2e-74.0e-84.1e-8由表4.5可以得到，存在信噪比在40~150dB范围内变动的白噪声时，加Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗、4项5阶Nuttall窗相位差FFT算法都可以高精度地检测出基波的频率参数，各个窗的基波频率参数检测精度随着信噪比的增加而提高，且到了某个信噪比之后，各个窗的基波频率参数检测精度会趋于稳定。加4项5阶Nuttall窗相位差38FFT算法的基波频率检测精度最高，可以达到10%~10%的数量级，高于Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗和4项3阶Nuttall窗，可有效克服不同信噪比的白噪声对基波频率参数检测的影响。表4.6白噪声影响下的加窗相位差FFT算法的基波幅值相对误差%Tab4.6ThefundamentalamplituderelativeerrorofwindowedphasedifferenceFFTalgorithmofwhitenoiseeffect信噪比（dB）405060708090窗函数类型Hanning3.5e-21.4e-21.0e-28.2e-36.3e-36.7e-3Blackman-1.7e-2-1.5e-3-7.7e-32.0e-31.9e-32.3e-3Blackman-Harris-9.8e-31.2e-2-5.4e-32.6e-4-7.5e-4-4.5e-43项1阶Nuttall1.2e-2-6.6e-54.0e-31.4e-31.5e-31.5e-34项3阶Nuttall-9.9e-3-1.2e-2-4.2e-38.3e-4-2.0e-41.8e-44项5阶Nuttall3.1e-33.7e-32.2e-3-5.6e-4-1.8e-42.2e-4信噪比（dB）100110120130140150窗函数类型Hanning6.6e-36.5e-36.5e-36.5e-36.5e-36.5e-3Blackman2.2e-32.1e-32.1e-32.1e-32.1e-32.1e-3Blackman-Harris-6.1e-4-5.9e-4-6.0e-4-6.0e-4-6.0e-4-6.0e-43项1阶Nuttall1.5e-31.5e-31.5e-31.5e-31.5e-31.5e-34项3阶Nuttall-1.3e-5-1.0e-51.4e-6-4.1e-6-5.2e-6-5.3e-64项5阶Nuttall-6.6e-6-1.4e-52.6e-64.0e-71.3e-71.4e-747 合肥工业大学硕士学位论文由表4.6可以得到，存在信噪比在40~150dB范围内变动的白噪声时，加Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗、4项5阶Nuttall窗相位差FFT算法都可以高精度地检测出基波的幅值参数，各个窗的基波幅值参数检测精度随着信噪比的增加而提高，且到了某个信噪比之后，各个窗的基波幅值参数检测精度会趋于稳定。加4项5阶Nuttall窗相位差37FFT算法的基波幅值检测精度最高，可以达到10%~10%的数量级，高于Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗和4项3阶Nuttall窗，可有效克服不同信噪比的白噪声对基波幅值参数检测的影响。表4.7白噪声影响下的加窗相位差FFT算法的基波相位相对误差%Tab4.7ThefundamentalphaserelativeerrorofwindowedphasedifferenceFFTalgorithmofwhitenoiseeffect信噪比（dB）405060708090窗函数类型Hanning-3.9e-0-1.6e-0-1.2e-0-9.4e-1-7.4e-1-7.8e-1Blackman2.3e-02.1e-11.1e-0-3.0e-1-3.0e-1-3.4e-1Blackman-Harris1.9e-0-2.2e-01.0e-0-3.7e-21.5e-19.6e-23项1阶Nuttall-1.9e-0-1.1e-2-6.2e-1-2.2e-1-2.5e-1-2.4e-14项3阶Nuttall1.9e-02.5e-08.5e-1-1.8e-14.4e-2-3.8e-24项5阶Nuttall-5.7e-1-9.5e-1-5.5e-11.4e-14.4e-2-5.5e-2信噪比（dB）100110120130140150窗函数类型Hanning-7.7e-1-7.6e-1-7.6e-1-7.6e-1-7.6e-1-7.6e-1Blackman-3.3e-1-3.2e-1-3.2e-1-3.2e-1-3.2e-1-3.2e-1Blackman-Harris1.3e-11.2e-11.2e-11.2e-11.2e-11.2e-13项1阶Nuttall-2.4e-1-2.5e-1-2.5e-1-2.5e-1-2.5e-1-2.5e-14项3阶Nuttall2.7e-32.3e-3-1.9e-49.8e-41.2e-31.2e-34项5阶Nuttall1.7e-33.6e-3-6.6e-4-1.1e-4-3.6e-5-3.7e-5由表4.7可以得到，存在信噪比在40~150dB范围内变动的白噪声时，加Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗、4项5阶Nuttall窗相位差FFT算法都可以高精度地检测出基波的相位参数，各个窗的基波相位参数检测精度随着信噪比的增加而提高，且到了某个信噪比之后，各个窗的基波相位参数检测精度会趋于稳定。加4项5阶Nuttall窗相位差15FFT算法的基波相位检测精度最高，可以达到10%~10%的数量级，高于Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗和4项3阶48 第四章加窗相位差FFT算法Nuttall窗，可有效克服不同信噪比的白噪声对基波相位参数检测的影响。4.5加窗相位差FFT算法的复杂间谐波信号仿真分析在实际的谐波信号中，除了含有各次整数次谐波外，往往还含有大量的间谐波，但在进行谐波参数分析时，往往忽略了间谐波的存在，因此研究复杂间谐波信号的仿真分析很有必要。当谐波信号中含有间谐波时，由于间谐波的频谱泄漏影响，谐波参数检测的精度会受到很大的影响，这就对谐波检测算法的准确性提出了更高的要求。采用包含间谐波的复杂信号在MATLAB中进行仿真，基波频率为50Hz；采样频率为5600Hz；数据长度为2048；各项谐波的幅值A和相位ii在表4.8中给出。仿真过程中，对所选取的复杂间谐波信号分别加Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗、4项5阶Nuttall窗进行相位差FFT仿真，所得到的频率、幅值、相位的相对误差仿真结b果见表4.9、表4.10、表4.11所列，其中aeb代表a10。表4.8包含间谐波的复杂信号的参数Tab4.8Theparametersofcomplexsignalcontaininginterharmonicsi0.511.522.42.83.33.74.3f/Hz255075100120140165185215iA/V795.893.754.37.54.82.6i/()3.94150.77946.829-816345.2ii5.266.87.5810.61315.717.9f/Hz260300340375400530650785895iA/V1.94.23.86.32.425.73.67.1i/()-175.14910.3342347.9-5279i表4.9加窗相位差FFT算法的间谐波频率相对误差%Tab4.9ThefrequencyrelativeerrorofinterharmonicsofwindowedphasedifferenceFFTalgorithm谐波次数0.511.522.42.8窗函数类型Hanning-2.2e-3-7.6e-2-3.7e-37.3e-3-2.6e-31.6e-3Blackman-9.1e-4-3.0e-2-1.2e-32.3e-3-1.2e-35.0e-449 合肥工业大学硕士学位论文Blackman-Harris-2.9e-4-3.7e-3-4.6e-46.3e-48.8e-54.8e-53项1阶Nuttall-6.9e-4-2.2e-2-8.5e-41.5e-3-9.6e-43.2e-44项3阶Nuttall2.9e-51.7e-31.9e-4-4.9e-4-6.0e-5-1.1e-44项5阶Nuttall-6.3e-6-5.5e-4-6.5e-52.6e-43.1e-56.9e-5谐波次数3.33.74.35.266.8窗函数类型Hanning5.5e-3-9.2e-31.9e-33.1e-31.1e-3-1.7e-3Blackman2.1e-3-3.5e-37.1e-41.3e-34.6e-4-6.9e-4Blackman-Harris3.4e-4-7.7e-65.4e-46.5e-42.5e-4-2.4e-43项1阶Nuttall1.5e-3-2.5e-35.2e-49.8e-43.5e-4-5.3e-44项3阶Nuttall-1.3e-42.5e-4-5.0e-5-2.8e-5-9.2e-61.4e-54项5阶Nuttall6.1e-5-1.3e-41.1e-52.4e-69.2e-7-1.5e-6谐波次数7.5810.61315.717.9窗函数类型Hanning-7.6e-4-3.0e-31.2e-43.2e-61.6e-43.9e-6Blackman-3.1e-4-1.2e-34.9e-51.4e-66.8e-51.6e-6Blackman-Harris9.5e-6-2.1e-42.3e-47.7e-57.7e-5-4.4e-53项1阶Nuttall-2.3e-4-9.0e-43.8e-51.0e-65.2e-51.3e-64项3阶Nuttall1.3e-54.6e-5-1.6e-7-7.2e-9-1.7e-7-8.3e-94项5阶Nuttall-3.2e-6-1.5e-51.7e-96.9e-111.9e-91.2e-10由表4.9可以得到，加Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗、4项5阶Nuttall窗相位差FFT算法都可以高精度地检测出各次间谐波的频率参数，以基波和2次谐波为例进行分析，从仿真结果可以看出，邻近的间谐波的频谱泄漏对基波和2次谐波影响较大，相对误差明显增大，但加4项5阶Nuttall窗相位差FFT算法仍具有最高的频率检测精度，平4均可以达到10%的数量级，比Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗平均高约1~2个数量级，有效地抑制了间谐波对谐波频率参数检测的影响。表4.10加窗相位差FFT算法的间谐波幅值相对误差%Tab4.10TheamplituderelativeerrorofinterharmonicsofwindowedphasedifferenceFFTalgorithm谐波次数0.511.522.42.8窗函数类型Hanning-3.6e-3-4.3e-1-5.1e-2-1.5e-1-7.1e-2-9.8e-3Blackman-1.1e-3-1.3e-1-1.3e-2-3.7e-2-2.7e-2-6.4e-350 第四章加窗相位差FFT算法Blackman-Harris-2.9e-4-1.1e-2-3.3e-3-1.0e-2-3.8e-3-9.9e-43项1阶Nuttall-7.9e-4-8.8e-2-8.2e-3-2.3e-2-2.0e-2-5.2e-34项3阶Nuttall4.0e-54.3e-31.2e-34.7e-32.8e-32.8e-44项5阶Nuttall-1.0e-5-9.9e-4-3.2e-4-1.6e-3-1.5e-3-1.7e-4谐波次数3.33.74.35.266.8窗函数类型Hanning1.9e-14.0e-1-9.3e-23.7e-2-3.6e-2-8.9e-2Blackman6.0e-21.3e-1-3.0e-21.2e-2-1.1e-2-2.8e-2Blackman-Harris6.1e-32.9e-3-1.4e-23.0e-3-6.0e-3-7.3e-33项1阶Nuttall4.3e-28.9e-2-2.1e-28.9e-3-7.7e-3-2.0e-24项3阶Nuttall-2.9e-3-6.8e-31.4e-3-1.9e-41.2e-43.5e-44项5阶Nuttall1.3e-33.0e-3-2.6e-41.7e-5-8.4e-6-3.1e-5谐波次数7.5810.61315.717.9窗函数类型Hanning-2.5e-2-1.2e-1-4.0e-3-3.4e-45.6e-34.7e-4Blackman-8.3e-3-3.4e-2-1.2e-3-1.2e-41.9e-31.5e-4Blackman-Harris-3.0e-4-5.5e-3-6.5e-3-4.1e-31.3e-3-3.4e-33项1阶Nuttall-6.0e-3-2.4e-2-8.9e-4-8.7e-51.4e-31.1e-44项3阶Nuttall3.0e-45.9e-42.6e-64.1e-7-3.5e-6-5.0e-74项5阶Nuttall-7.7e-5-1.1e-4-2.3e-8-3.5e-93.5e-85.9e-9由表4.10可以得到，加Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗、4项5阶Nuttall窗相位差FFT算法都可以高精度地检测出各次间谐波的幅值参数，以基波和2次谐波为例进行分析，从仿真结果可以看出，邻近的间谐波的频谱泄漏对基波和2次谐波影响较大，相对误差明显增大，但加4项5阶Nuttall窗相位差FFT算法仍具有最高的幅值检测精度，平3均可以达到10%的数量级，比Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗平均高约1~2个数量级，有效地抑制了间谐波对谐波幅值参数检测的影响。表4.11加窗相位差FFT算法的间谐波相位相对误差%Tab4.11ThephaserelativeerrorofinterharmonicsofwindowedphasedifferenceFFTalgorithm谐波次数0.511.522.42.8窗函数类型Hanning8.7e-15.7e-03.0e-1-5.3e-14.5e-1-3.3e-1Blackman3.6e-12.2e-09.7e-2-1.6e-12.1e-1-9.1e-2Blackman-Harris1.2e-12.9e-14.3e-2-5.0e-2-1.4e-2-7.3e-351 合肥工业大学硕士学位论文3项1阶Nuttall2.7e-11.6e-06.5e-2-9.9e-21.7e-1-5.1e-24项3阶Nuttall-1.2e-2-1.3e-1-1.7e-23.9e-21.0e-23.0e-24项5阶Nuttall2.5e-34.1e-26.1e-3-2.1e-2-5.4e-3-2.0e-2谐波次数3.33.74.35.266.8窗函数类型Hanning7.1e-11.7e-0-6.0e-13.1e-0-4.3e-17.9e-1Blackman2.7e-16.6e-1-2.3e-11.3e-0-1.8e-03.2e-1Blackman-Harris4.5e-24.4e-4-1.7e-16.6e-1-9.8e-11.1e-13项1阶Nuttall2.0e-14.8e-1-1.7e-11.0e-0-1.4e-02.5e-14项3阶Nuttall-1.7e-2-4.8e-21.6e-2-2.9e-23.6e-2-6.5e-34项5阶Nuttall7.9e-32.5e-2-3.4e-32.5e-3-3.6e-36.8e-4谐波次数7.5810.61315.717.9窗函数类型Hanning1.8e-02.2e-0-1.7e-1-2.8e-31.6e-1-2.9e-3Blackman7.4e-19.0e-1-7.4e-2-1.2e-36.7e-2-1.2e-3Blackman-Harris-2.2e-21.6e-1-3.5e-1-6.9e-27.7e-23.3e-23项1阶Nuttall5.5e-16.8e-1-5.7e-2-9.2e-45.2e-2-9.3e-44项3阶Nuttall-3.0e-2-3.6e-22.4e-46.4e-6-1.7e-46.2e-64项5阶Nuttall7.5e-31.1e-2-2.5e-6-6.1e-81.8e-6-8.8e-8由表4.11可以得到，加Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗、4项5阶Nuttall窗相位差FFT算法都可以高精度地检测出各次间谐波的相位参数，以基波和2次谐波为例进行分析，从仿真结果可以看出，邻近的间谐波的频谱泄漏对基波和2次谐波影响较大，相对误差明显增大，但加4项5阶Nuttall窗相位差FFT算法仍具有最高的相位检测精度，平2均可以达到10%的数量级，比Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗平均高约1~2个数量级，有效地抑制了间谐波对谐波相位参数检测的影响。4.6本章小结本章主要分析了加窗相位差FFT算法，推导了加窗相位差FFT算法的算法原理，提出了基于加4项5阶Nuttall窗相位差FFT算法的谐波检测方法。在MATLAB中针对信号模型分别加Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗、4项5阶Nuttall窗进行了相位差FFT仿真，得到了频率、幅值、相位的相对误差仿真结果，仿真结果验证了加4项5阶Nuttall窗相位差FFT算法的谐波参数检测精度。考虑了信号基波频率在49.5~50.5Hz范围内变动的情况和加性高斯白噪声信噪比在40~150dB范围内变动的情况，仿真52 第四章加窗相位差FFT算法结果表明，加4项5阶Nuttall窗相位差FFT算法可有效克服基波频率变动和不同信噪比的白噪声对谐波参数检测的影响。另外做了复杂间谐波信号的仿真分析，仿真结果表明，加4项5阶Nuttall窗相位差FFT算法可有效抑制间谐波对谐波参数检测的影响。53 合肥工业大学硕士学位论文第五章基于FFTIP核的谐波检测方法加窗多谱线插值FFT算法和加窗相位差FFT算法这两种谐波检测方法可以大大提高谐波检测的精度，另外，使用FPGA实现FFT运算，同样具有很好的性能，通过在QuartusII的开发平台中调用FFTIP核，并使用ModelSim作为仿真平台，可以高精度地检测出复杂谐波信号的参数。5.1QuartusII中原理图的各个模块的编写为了计算输入数据的幅值参数，原理图中包括FFTIP模块、FFTIP核的时序控制模块、ROM模块、RAM模块、计数器模块和幅值计算模块。5.1.1FFTIP模块在QuartusII中调用FFTIP核作为运算模块，包含FFTIP核模块的局部原理图如图5.1所示，其中FFTIP核模块的名称为FFT_64，标号为inst3。图5.1包含FFTIP核模块和FFTIP核的时序控制模块的局部原理图Fig5.1ThelocalschematicdiagramofFFTIPcoremoduleandtimingcontrolmoduleofFFTIPcore5.1.2FFTIP核的时序控制模块FFTIP核的各个输入输出引脚在Burst工作模式下的时序图如图5.2所示，根据各个输入输出引脚的时序图，使用VerilogHDL语言编写FFTIP核的时序控制模块，将控制模块的输出接到FFTIP核上，包含FFTIP核的时序控制模块的局部原理图如图5.1所示，其中FFTIP核的时序控制模块的名称为FFT_Burst，标号为inst2。54 第五章基于FFTIP核的谐波检测方法图5.2FFTIP核的各个输入输出引脚在Burst工作模式下的时序图Fig5.2TheBursttimingdiagramofeachinputandoutputpinofFFTIPcore5.1.3ROM模块输入数据加入ROM模块中，并将ROM模块的输出接到控制模块上，包含ROM模块的局部原理图如图5.3所示，其中ROM模块的名称为ROM1PORT1，标号为inst1。图5.3包含ROM模块的局部原理图Fig5.3ThelocalschematicdiagramofROMmodule5.1.4RAM模块和计数器模块使用计数器模块的输出作为RAM模块的地址，并将FFTIP核的实部、虚部输出数据存入RAM模块中，包含RAM模块和计数器模块的局部原理图如图5.4所示，其中RAM模块的名称为RAM1PORT，标号为inst5和inst6；计数器模块的名称为COUNTER1，标号为inst4。55 合肥工业大学硕士学位论文图5.4包含RAM模块和计数器模块的局部原理图Fig5.4ThelocalschematicdiagramofRAMmoduleandCountermodule5.1.5幅值计算模块将RAM模块中的数据输入到幅值计算模块中，得到输入数据的幅值参数，幅值计算模块包括平方相加运算模块和平方根运算模块，包含幅值计算模块的局部原理图如图5.5所示，其中平方相加运算模块的名称为ALTMULT_ADD1，标号为inst7；平方根运算模块的名称为SQRT1，标号为inst8。图5.5包含幅值计算模块的局部原理图Fig5.5Thelocalschematicdiagramofamplitudecalculationmodule5.2FFTIP核的ModelSim仿真选取64个离散数据作为仿真FFTIP核的输入数据，各个离散数据的数值见表5.1所列。56 第五章基于FFTIP核的谐波检测方法表5.1仿真FFTIP核的输入数据Tab5.1TheinputdataofFFTIPcoresimulation序号12345678910111213数值16171819202122232425323334序号14151617181920212223242526数值35363738394041484950515253序号27282930313233343536373839数值54555657646566676869707172序号40414243444546474849505152数值73808182838485868788899697序号535455565758596061626364数值9899100101102103104105112113114115将仿真工具设置为ModelSim，对QuartusII中连接好的原理图进行编译，编译通过后会在工程文件夹下生成后缀为.vt的仿真文件以及后缀为.vo的网表文件，对.vt文件使用VerilogHDL语言编写testbench，将编写好testbench的仿真文件、网表文件以及220model.v、altera_mf.v、cycloneii_atoms.v这三个库文件添加到ModelSim中进行编译，编译通过后得到的仿真结果如图5.6所示，得到输入数据经过FFTIP核运算后的幅值结果。图5.6FFTIP核的ModelSim仿真结果Tab5.6TheModelSimsimulationresultsofFFTIPcore5.3FFTIP核的ModelSim仿真结果分析使用MATLAB和ModelSim联合仿真验证FFTIP核的ModelSim仿真结果的57 合肥工业大学硕士学位论文精度。在MATLAB中调用FFT函数对同样的输入数据进行运算，将MATLAB运算得到的幅值结果与图5.6所示的FFTIP核的ModelSim仿真得到的幅值结果进行逐一对比，对比的结果见表5.2所列。表5.2MATLAB和FFTIP核的幅值仿真结果的比较Tab5.2ThecomparisonofamplitudesimulationresultsofMATLABandFFTIPcore序号1234567891011MTALAB63.832.616.310.98.26.55.35.14.33.93.5FFTIP核6333.516.611.78.17.14.55.44.93.82.7序号1213141516171819202122MTALAB3.23.12.02.42.32.22.12.01.52.11.9FFTIP核2.73.43.22.52.72.12.12.52.22.11.8序号2324252627282930313233MTALAB1.91.81.81.81.61.61.61.61.61.61.0FFTIP核1.82.22.21.62.21.61.11.61.51.52.0序号3435363738394041424344MTALAB1.61.61.61.61.61.61.81.81.81.91.9FFTIP核1.62.11.61.11.61.62.12.22.21.61.8序号4546474849505152535455MTALAB2.11.52.02.12.22.32.42.03.13.23.5FFTIP核2.11.82.21.82.12.92.52.83.43.83.4序号565758596061626364MTALAB3.94.35.15.36.58.210.916.332.6FFTIP核3.84.95.65.06.18.111.616.533.5表5.2中，通过与MATLAB运算得到的幅值结果的逐一对比可以得到，FFTIP核的ModelSim仿真得到的幅值结果有很高的精度，准确度平均可以达到80%以上，尤其在幅值较大时，FFTIP核的ModelSim仿真得到的幅值结果的相对误差不足5%，这验证了所设计的原理图的正确性，FFTIP核实现了FFT运算的功能，在一定的误差允许范围内，通过FFTIP核可以实现谐波幅值参数的准确检测。5.4本章小结本章主要分析了在QuartusII的开发平台中调用FFTIP核进行谐波检测的情况，仿真平台使用ModelSim。首先分析了QuartusII中原理图的各个模块的编写，包括FFTIP模块、FFTIP核的时序控制模块、ROM模块、RAM模块、计数器模块和幅值计算模块；然后使用FFTIP核对给定的输入数据进行了ModelSim仿真；最后结合MATLAB的仿真结果验证了FFTIP核的ModelSim仿真结果的精度。58 第六章结论与展望第六章结论与展望6.1结论谐波对电力系统的安全、经济、稳定运行会造成影响，影响周边的电气环境，人们逐渐重视电力系统中谐波问题的研究。谐波检测在谐波问题中占有重要的地位，谐波问题的研究以谐波检测为出发点，谐波检测的结果是研究谐波问题的主要依据。在谐波检测的众多方法中，FFT由于其易于实现而颇受青睐，但频谱泄漏和栅栏效应使FFT在进行谐波检测时会产生很大的误差，因而研究FFT的改进算法以及在硬件中实现FFT运算具有十分重要的意义。本论文主要完成了以下几方面的工作：（1）分析了FFT的算法原理以及FFT应用于谐波检测时产生较大误差的原因，比较了常用的窗函数的旁瓣特性，说明了选择窗函数的标准，分析了FFT的硬件实现方法以及FFTIP核应用于谐波检测的相关情况。（2）推导了加窗双谱线插值FFT算法的算法原理，提出了基于加4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法的谐波检测方法。在MATLAB中针对信号模型分别加Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗、4项5阶Nuttall窗进行了双谱线插值FFT仿真，得到了频率、幅值、相位的相对误差仿真结果，从仿真结果可以得到，加4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法的频率、幅值、相位检测精度皆最高，它的各次谐波的频率、幅值、相位检796746测相对误差平均分别可以达到10%~10%、10%~10%、10%~10%，皆比Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗平均高约1~4个数量级。在弱幅值谐波的频率、幅值、相位参数检测方面，加4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法同样具有很好的性能，频率约可以764达到10%的数量级，幅值约可以达到10%的数量级，相位约可以达到10%的数量级，皆比Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗高。考虑了信号基波频率在49.5~50.5Hz范围内变动的情况和加性高斯白噪声信噪比在20~130dB范围内变动的情况，仿真结果表明，加4项5阶Nuttall窗双谱线插值FFT算法可有效克服基波频率变动和不同信噪比的白噪声对谐波参数检测的影响。（3）推导了加窗三谱线插值FFT算法的算法原理，提出了基于加4项5阶Nuttall窗三谱线插值FFT算法的谐波检测方法。在MATLAB中针对信号模型分别加Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗、4项5阶Nuttall窗进行了三谱线插值FFT仿真，得到了频率、幅值、相位的59 合肥工业大学硕士学位论文相对误差仿真结果，从仿真结果可以得到，加4项5阶Nuttall窗三谱线插值FFT算法的频率、幅值、相位检测精度皆最高，它的各次谐波的频率、幅值、相位检8107857测相对误差平均分别可以达到10%~10%、10%~10%、10%~10%，皆比Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗平均高约1~4个数量级，且三谱线插值的谐波参数相对误差平均约比双谱线插值的精度高1个数量级。在弱幅值谐波的频率、幅值、相位参数检测方面，加4项5阶Nuttall窗三谱线插值FFT算法同样具有很好的性能，频率约可以865达到10%的数量级，幅值约可以达到10%的数量级，相位约可以达到10%的数量级，皆比Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗高。考虑了信号基波频率在49.5~50.5Hz范围内变动的情况和加性高斯白噪声信噪比在20~130dB范围内变动的情况，仿真结果表明，加4项5阶Nuttall窗三谱线插值FFT算法可有效克服基波频率变动和不同信噪比的白噪声对谐波参数检测的影响。（4）推导了加窗相位差FFT算法的算法原理，提出了基于加4项5阶Nuttall窗相位差FFT算法的谐波检测方法。在MATLAB中针对信号模型分别加Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗、4项5阶Nuttall窗进行了相位差FFT仿真，得到了频率、幅值、相位的相对误差仿真结果，从仿真结果可以得到，加4项5阶Nuttall窗相位差FFT算法的频率、幅值、相位检测精度皆最高，它的各次谐波的频率、幅值、相位检测相对误差平均786745分别可以达到10%~10%、10%~10%、10%~10%，皆比Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、3项1阶Nuttall窗、4项3阶Nuttall窗平均高约1~4个数量级。考虑了信号基波频率在49.5~50.5Hz范围内变动的情况和加性高斯白噪声信噪比在40~150dB范围内变动的情况，仿真结果表明，加4项5阶Nuttall窗相位差FFT算法可有效克服基波频率变动和不同信噪比的白噪声对谐波参数检测的影响。另外做了复杂间谐波信号的仿真分析，仿真结果表明，加4项5阶Nuttall窗相位差FFT算法可有效抑制间谐波对谐波参数检测的影响。（5）分析了QuartusII中原理图的各个模块的编写，使用FFTIP核对给定的输入数据进行了ModelSim仿真，并结合MATLAB的仿真结果验证了FFTIP核的ModelSim仿真结果的精度。FFTIP核的ModelSim仿真得到的幅值结果有很高的精度，准确度平均可以达到80%以上，尤其在幅值较大时，FFTIP核的ModelSim仿真得到的幅值结果的相对误差不足5%，这验证了所设计的原理图的正确性，FFTIP核实现了FFT运算的功能，在一定的误差允许范围内，通过FFTIP核可以实现谐波幅值参数的准确检测。60 第六章结论与展望6.2展望由于研究的时间有限，本论文的研究工作存在一些不足，一些工作需要进一步的研究：（1）本文所研究的改进FFT谐波分析方法无法实现任意次谐波的自适应检测，对于实际工程中的包含多次整数次谐波和间谐波的复杂信号，实时性不高，需要进一步研究频谱峰值搜寻函数，从而为实现任意次谐波的自适应检测打下基础。（2）对于FFT的硬件实现，还有很多工作要做，需要将加窗插值算法引入到FPGA中，同时需要在硬件层面上实现数据采集，另外，可使用液晶屏等方式显示输出结果，从而实时地对需要处理的信号进行频谱分析。61 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