2013年广州市高二数学竞赛试题（卷）

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1、2013年广州市高二数学竞赛试题2013．5．11考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上；⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在下列函数中，既是上的增函数，又是以为最小正周期的偶函数的函数是A．B．C．D．2．已知向量，其中，，则满足条件的不共线的向量共有A．9个B．12个C．13个D．16个3．在平面直角坐标系中，设是由不等式组表示的区域，是到原点的距离不大于1的点构成的区域，若向中随机投

2、一点，则所投点落在中的概率是A．B．C．D．4．已知函数，则函数所有零点的和为A．B．0C．2D．4二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分．5．若直线与圆相切，则*。6．已知集，，且，则实数的值等于*．7．已知不等式<1的解集是{x

3、x<1或x>2}，那么实数*．8．已知为三条不同的直线,且，给出如下命题：①若与b是异面直线,则c至少与,b中的一条相交；②若//b,则必有//c；③若不垂直于c,则与b一定不垂直；④若⊥b,⊥c,则必有.其中正确的命题的是（请填上正确命题的序号）。①②9．定义运算，则符合条件（其中为虚数单位

4、）的复数*。10．将数列依原顺序按第组有项的要求分组，则2013在第*组.10．前组所含项数之和为，2013是数列的第1008项.由于，所以2013在第9组.三、解答题：本大题共5小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．（本小题满分15分）中，角、、所对的边分别为、、，已知，，。（1）求的值；（2）求的面积。11.（1）。……………………………………2分∵，∴为锐角。……………………………………………4分。…………………………………………………………6分…………………………………………………………………8分（2

5、）∵。……10分，，得。……………………………………………13分。…………………………………………15分12．（本小题满分15分）如图，己知△中，，，平面，，、分别是、上的动点，且。（1）求证：不论为何值，总有平面⊥平面；（2）若平面与平面所成的二面角的大小为，求的值．12.（1）证明：因为AB⊥平面ABCD，所以AB⊥CD。在△BCD中，，所以BC⊥CD。因为AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC。………………………………………………3分在△ACD中，E、F分别是AC、AD上的动点，且。所以EF∥CD，所以EF⊥平面ABC。因为EF平

6、面BEF，所以平面BEF⊥平面ABC。……………………………………6分（2）解：作BQ∥CD，由（1）知CD⊥平面ABC，所以BQ⊥平面ABC。所以BQ⊥BC，BQ⊥BE。因为BQ与CD、EF共面，平面BEF∩平面BCD＝BQ，所以∠CBE为平面BEF与平面BCD所成的二面角的平面角为60°。………………8分在∆ABC内作EM⊥BC交BC于点M，由cos60°＝，所以2BM＝BE。　　①……………………………9分又，所以＝1－。由＝1－，在∆BCD中，∠BCD=900，BC＝CD＝1，所以BD＝，又在Rt∆ABD中，∠ADB=600，

7、所以AB＝，所以，EM＝（1－）。　②……………………………11分又＝，且BC＝1，所以BM＝。③……………………………12分在Rt∆中，由①②③得42＝6（1－）2＋2。……………………………13分即2－4＋2＝0，解得＝2－或＝2＋。………………………………14分因为，所以＝2－。……………………………………………………15分13．（本小题满分20分）已知函数.（1）若曲线在和处的切线互相平行，求的值；（2）求函数的单调区间。13.函数的定义域为。…………………………………………………………2分且.…………………………………………

8、…………4分（1）因为曲线在和处的切线互相平行，所以。………………………………………………………………………6分即，解得.………………………………………………………………………………8分（2）因为.………………………………………………10分①当时，，，在区间上，；在区间上，故的单调递增区间是，单调递减区间是.………………………13分②当时，，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.…………16分③当时，因为，故的单调递增区间是.…………………18分④当时，，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区

9、间是.…………20分14．（本小题满分20分）已知，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，且满足，。（1）当点在轴上移动时，求点的轨迹的方程；（2）设为轨迹上两点，，，，若存在实数，使，且，求的值。14.（1）设点，由