2006年广州市高二数学竞赛试题（卷）

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1、2006年广州市卡西欧杯高二数学竞赛试卷题号一二三合计（11）（12）（13）（14）（15）得分评卷员考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分。一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内．（1）是椭圆的焦点，在上满足的点的个数为（）(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个（2）已知实数集合A满足条件：若，则，则集合中所有元素的乘积的值为（）(A)(B)(C)(D)与的取值有关（3）若的三边长、、满足且，则

2、它的最大内角的度数是（）(A)(B)(C)(D)（4）已知定点和抛物线，动点和分别在轴上和抛物线上，若（其中O为坐标原点），则的最小值为（）(A)(B)(C)(D)、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．把答案填在题中横线上．（5）高二数学竞赛获一等奖的人数在到人之间，颁奖典礼上给获一等奖的学生照相．按3列排，多出2人；按5列排，多出4人；按7列排，多出2人，则获一等奖的人数有人．（6）若函数的图像经过点，试写出两个满足上述条件的函数的解析式、．（7）已知点在直线上，则的最小值为．（8）正三棱锥中，，，过点作平面分别交、于、，则的周长的最小值为．（9）现代

3、社会对破译密码的要求越来越高，有一种密码把英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的、、、…、的26个字母（不论大小写）依次对应1、2、3、…、26这26个自然数，见表格：1234567891011121314151617181920212223242526给出如下一个变换公式：将明文转换成密文，如即变为；即变为．按上述规定，明文good的密文是，密文的明文是．（10）对一切实数，所有的二次函数的值均为非负实数，则的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共90分．要求写出解答过程．（11）（本小题满分15分）已知函数（为常数）．（Ⅰ）求函数的最小正周期，并指出其单

4、调减区间；（Ⅱ）若函数在上恰有两个的值满足，试求实数的取值范围．（12）（本小题满分15分）如图，点是矩形所在平面外一点且平面，，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若是的中点，求异面直线与所成角的余弦值；APDCBE（Ⅲ）在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为1．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（13）（本小题满分20分）如图，将一块直角三角形板放置于平面直角坐标系中，已知，．点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分（即△POB）受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角板锯成，设直线的斜率为．（Ⅰ）试用表示的面积，并指出的取值范围；（Ⅱ）试求的最

5、大值．ABMNPxyO（14）（本小题满分20分）已知数列的各项均为正数，且，当时，都有，记……．（Ⅰ）试求数列的通项公式；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）令，……，试比较与的大小．（15）（本小题满分20分）设定义在上的函数，当时，取得极大值，并且函数的图象关于点对称．（Ⅰ）求的表达式；（Ⅱ）试在函数的图像上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上；（Ⅲ）若，，求证：．2006年广州市卡西欧杯高二数学竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．（1）（2）（3）（4）二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．（

6、5）（6）本小题答案不唯一，只要满足题设条件即为正确答案。例如：，，，，，，，，，等等．（7）（8）（9）dhho，maths（10）第（10）题参考解答：设，则．依题意有，，即，即．故．当且仅当即时取等号．三、解答题：本大题共5小题，满分90分．（11）（本小题满分15分）解：（Ⅰ）∵，∴最小正周期，单调递减区间为．（Ⅱ）令，则，．要使在上恰有两个的值满足，则，解得．（12）（本小题满分15分）解法一：（Ⅰ）因平面，面，故面面．因四边形是矩形，故．因面面，故面．因面，故平面平面．（Ⅱ）取中点，连结、．因是的中点，故．所以或它的补角是与所成的角．易得，，，故．故与

7、所成角的余弦值为．（Ⅲ）假设点存在，过点作于，因为面面，面面，ADBCQ21G所以面，即．如图，易知，1则．故存在一点，当时使点D到平面PAQ的距离为1．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）以A为原点，AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵，，∴，，，，，．QAPDCBExyz∵，，由，∴与所成角的余弦值为．……10分（Ⅲ）假设存在点符合条件，则，．又设平面PAQ的法向量为，由即取，则是平面PAQ的一个法向量．由题意有，即，解得．故存在一点，当时使点D到平面PAQ的距离为1．（13）（本小题满分20分）解：（Ⅰ）：，　：，解得，．于是

8、，．所以．