2007年广州市高二数学竞赛试题（卷）

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1、2007年广州市高二数学竞赛试卷题号一二三合计（11）（12）（13）（14）（15）得分评卷员考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内．1．设函数，若，则实数的取值范围是（）．A．B．C．D．2．椭圆的焦点为和，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么是的（）．A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍3．已知集合，则集合

2、中元素的个数为（）．A．0个B．1个C．2个D．无数个4．设是内一点，且，定义，其中分别是的面积，若，则的最小值是（）．A．B．18C．16D．9二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．把答案填在题中横线上．5．已知复数满足：，则__________．6．在区间上任取两实数a，b，则二次方程有实数解的概率为．7．已知函数满足：，则．8．奇函数在上为减函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为．9．四面体ABCD中，AB＝CD＝6，其余的棱长均为5，则与该四面体各个表面都相切的内切球的半径长等于．

3、10．已知满足，则函数的最大值与最小值之和为．三、解答题：本大题共5小题，共90分．要求写出解答过程．11．（本小题满分15分）已知函数，其中，（），若相邻两对称轴间的距离不小于．（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）在中，分别是角的对边，，当最大时，，求的面积．12．（本小题满分20分）各项都为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足，，数列{cn}满足，数列{cn}的前n项和为Tn，当n为偶数时，求Tn；（Ⅲ）同学甲利用第（Ⅱ）问中的Tn设计了一个程序如图，但同学

4、乙认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束）．你是否同意同学乙的观点？请说明理由．n：=n+2n：=0Pn：=Tn-Pn：=2007？打印n结束NoYes13．（本小题满分20分）多面体的直观图，主视图，俯视图，左视图如下所示．A1BCDAB1C1D1直观图主视图图a左视图俯视图aa（Ⅰ）求与平面所成角的正切值；（Ⅱ）求面与面所成二面角的余弦值；（Ⅲ）求此多面体的体积．14．（本小题满分20分）如图，已知抛物线与圆相交于、两点，且（为坐标原点），直线与圆相切，切点在劣弧（含A、B

5、两点）上，且与抛物线相交于、两点，是、两点到抛物线的焦点的距离之和．OBMNxyOFlA(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的最大值，并求取得最大值时直线的方程．15．（本小题满分20分）已知函数是区间上的减函数．（Ⅰ）若在 上恒成立，求t的取值范围；（Ⅱ）讨论关于x的方程  的根的个数．2007年广州市高二数学竞赛参考答案1．选B．2．选A．3．选D．4．选B．5．填1．6．填．7．填2008．8．填．9．填．10．填20．11．解：（Ⅰ）．，∴函数的周期．由题意可知解得．故的取值范围是．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知的最大值为1，．，

6、．而，，．由余弦定理，知，，又，联立解得或．．（或用配方法．）12．解：（Ⅰ）当时，由，解得，当时，由，得．两式相减，并利用，求得．∴数列是首项为2，公差为1的等差数列．∴（）．（Ⅱ）∵是首项为2，公比为2的等比数列，∴．当n为偶数时，．（Ⅲ）∵（n为偶数），设（n为偶数），∴．且，（利用数列的单调性或函数的单调性判断）∴，即（n为偶数）．因此同学乙的观点正确．A1BCDAB1C1D1HK13．（Ⅰ）解：由已知图可得，平面平面，取中点，连接，在等腰中，有，则平面．∴是与平面所成的角．∵，∴．故与平面所成角的正切值

7、为2．（Ⅱ）解法1：取中点，连接，同理有平面，即是在平面内的射影．取的中点M，取的中点N，连接MN，AM，AN，则就是面与面所成的二面角．∵MN＝a，，∴．即．∴面与面所成二面角的余弦值为．解法2：取中点，连接，同理有平面，即是在平面内的射影，在中，，，又，设面与面所成二面角的大小为，则．∴面与面所成二面角的余弦值为．（Ⅲ）解：∵该多面体为长方体削去四个全等的三棱锥，每个三棱锥的体积都为．∴此多面体的体积．14．(Ⅰ)解：设点的坐标为，由于抛物线和圆关于轴对称，故点的坐标为．，，即．点在抛物线上，．，即．．．点的

8、坐标为．OBMNxyAON1M1Fl点在圆上，，又，解得．(Ⅱ)解法1：设直线的方程为：，因为是圆O的切线，则有，又，则．即的方程为：．联立即．设，则．如图，设抛物线的焦点为，准线为，作，垂足分别为．由抛物线的定义有：．令，则．∴．又∵，∴．∴当时，有最大值11．当时，，故直线的方程为．解法2：设直线与圆相切的切点坐标为，则切线的方程为．由消去，得．设，则．如图，设抛物线