现代分析基础教学大纲

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1、现代分析基础教学大纲第一章测度与积分（4-6学时）1．测度2．可测函数与积分3．积分的极限定理4．Fubini定理及应用第二章Lp空间（4-6学时）1.Lp空间的定义2.Jensen不等式，Holder不等式，Minkowski不等式，Hanner不等式3.Lp空间的完备性与可分性4.Lp空间的对偶空间5.Lp点列的弱收敛与弱紧性6.Lp中函数卷积第三章重排与积分不等式（4学时）1.重排不等式2.Hardy-Littlewood-Sobolev不等式第四章Fourier变换与广义函数（4-6学时）1.Fourier

2、变换2.广义函数3Poisson方程的解第五章Sobolev空间（2-4学时）1.Hi空间2.Sobolev嵌入定理与最佳Sobolev嵌入常数3.变分原理的直接方法伽罗瓦理论与模论教学大纲主要教学内容如下。1 伽罗瓦理论基本定理包括伽罗瓦对应，阿丁引理，和有限伽罗瓦扩张的主要刻画；基本定理的表述及意义、证明、例子、及用它证明代数基本定理2 伽罗瓦群的计算包括伽罗瓦的原始思想、纯粹方程、一般方程和素数次对称群方面的结果3 方程根式可解的伽罗瓦大定理包括证明4 模范畴包括阿丁模和诺特模5 若当-侯德尔定理和Krull

3、-Schmidt-Remak定理6 半单模和Wedderburn-Artin定理7 自由模、投射模和内射模8考试流形上的几何教学大纲第一章平面和三维空间中的曲线论0.1平面上的曲线论，Frenet公式0.2空间曲线论，Frenet公式第二章技术性结论1.1反函数定理1.2常微分方程解的存在性1.3光滑性第三章流形2.1坐标卡2.2流形的定义2.3更多流形的例子2.4流形间的映射第四章切向量与余切向量3.1光滑函数的存在性3.2函数的求导3.3光滑函数求导第五章向量场4.1切丛4.2向量场作为导数4.3微分同胚的单参

4、数群4.4李括号（续）第六章张量分析5.1张量积5.2外代数第七章微分形式6.1p形式的丛6.2单位分解6.3微分形式6.4外导数6.5微分形式上的李导数6.6deRham上同调第八章形式上的积分7.1定向7.2Stoke定理8光滑映射的度8.1最高维数的deRham上同调第九章黎曼度量9.1度量张量9.2测地流9.3调和形式